Zielgruppe: Die Vorlesung richtet sich vorrangig an Studierende mit Ziel B.Sc. oder M.Sc.
Mathematik, eignet sich aber auch als Wahlfach für Physikstudenten. Die
begleitende Übung ist verpflichtend und stellt inhaltlich eine wesentliche
Ergänzung dar. Die Vorlesung wird nach Absprache auf Deutsch oder Englisch
gehalten, das Skript und die Übungen sind auf Englisch.

Inhalt: Die Vorlesung gibt eine Einführung in stochastische Prozesse mit
Anwendungen in den Naturwissenschaften. Wir werden zunächst eine
wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung stochastischer Prozesse
entwickeln, um diese dann für Gaußsche Prozesse und Markovketten zu vertiefen.
Das "mikroskopische" Gegenstück zu dieser Beschreibung bilden stochastische
Differentialgleichungen, mit denen sich die Zufallspfade vieler stetiger
Prozesse darstellen lassen. Eine wichtige Klasse sind Diffusionsprozesse mit
ihren zahlreichen Anwendungen.

1. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
   (etwas Maßtheorie, Lebesgue-Integral, bedingte Erwartung)
2. Stochastische Prozesse und Korrelationsfunktionen
   (Brownsche Bewegung, Gaußsche Prozesse, Wiener-Khinchin-Theorem, Martingale)
3. Markovketten
   (Satz von Perron-Frobenius, Mastergleichung, Gleichgewicht, Metropolis-Hastings-Algorithmus)
4. Stochastische Differentialgleichungen
   (Ito-Integral und -kalkül, Stratonovich-Integral, stetige Martingale, Ito-Diffusion)
5. Diffusionsprozesse
   (infinitesimaler Erzeuger, Fokker-Planck-Gleichung, Dynkin-Formel, First-exit-time-Probleme, Randwertprobleme)