Brief description.
Our target are the basic homological properties of monomial ideals. After a brief introduction and a fast overview of Gröbner bases, we will focus on the connection with discrete geometry (Stanley-Reisner theory). We then discuss connections between algebraic invariants to combinatorial ones.  The following topics will be treated:

1. Basic properties of monomial ideals
2. ``Gröbner basics''
3. Square-free monomial ideals and simplicial complexes (Stanley-Reisner ideals)
4. Hilbert functions (including Macaulay's theorem, Kruskal-Katona theorem)
5. Free resolutions of monomial ideals (Taylor resolution, Eliahou-Kervaire formula, Hochster's formula)

Requirements.
Bachelor's degree + Algebra 1 (or basic knowledge of commutative algebra: (graded) rings and modules, basic properties of ideals, basic notions of homological algebra)


Kurze Beschreibung.
Das Ziel ist  homologische Grundeigenschaften von Monomidealen vorzustellen. Nach einer kurzen Einführung und einem schnellen Blick über Gröbnerbasen, wird der Zusammenhang mit der diskreten Geometrie (Stanley-Reisner Ideale) präsentiert. Algebraische Invarianten werden dann im Zusammenhang mit der Kombinatorik gesetzt. Folgende Themen werden behandelt:

1. Grundeigenschaften der Monomideale
2. ``Gröbner basics''
3. Quadratfreie Monomideale und Simplizialkomplexe (Stanley-Reisner Theorie)
4. Hilbertfunktionen (Satz von Macaulay, Satz von Kruskal und Katona)
5. Freie Auflösungen von Monomidealen (Taylor-Auflösung, Eliahou-Kervaire-Formel, Hochster-Formel)

Voraussetzung.
Bachelor + Algebra 1 (oder Grundbegriffe aus der Kommutativen Algebra: (graduierte) Ringe und Moduln, Grundeigenschaften von Idealen, Grundbegriffe der homologischen Algebra)


Literatur
[1.]  J. Herzog, T. Hibi, Monomial ideals, Springer London 2011
[2.]  E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial Commutative Algebra, Vol 227, Springer Science and Business Media, 2005
[3.]  R. Stanley, Combinatorics and  Commutative Algebra, second edition, Birkhäuser, 2004