Organisatorisches

Anmeldung zu Tutorien ab 16.10.2024 14:00

Übungsblätter werden Freitag 12:00 veröffentlicht

Abgabe in der übernächsten Woche am Donnerstag

Inhaltliche Schwerpunkte

• kurze Wiederholung zum Aufbau des Zahlensystems

Inhalt

• Ordnungsrelationen und Schnitte
• Reelle Zahlen

Inhalt

• Ungleichungen, Lösungsmengen
• Beträge
• Intervalle

Inhalt:

• Exponential- und Logarithmusfunktionen*
• Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens und  ihre Umkehrfunktionen
• Komplexe Zahlen: Geschichtliches, Kartesische Darstellung und Definition der arithmetischen Grundoperationen

* Da die ersten zwei Punkte im Vorlesungsskript nur sehr kurz und zu einem späteren Zeitpunkt
  behandelt werden, kann man die ausführliche Version im Skript des Brückenkurses 2017 (abgelegt
  unter Resources/Skripte und Vorlesungsmaterialien) auf den Seiten 31 bis 35 nachlesen.
 

Inhalt:    

• konjugierte komplexe Zahl
• Polarkoordinaten einer komplexen Zahl: Betrag und Argument
• Eulersche komplex Exponentialfunktion
• Satz von de Moivre

Inhalt:

• komplexe Einheitswurzeln
• n-te Wurzeln einer komplexen Zahl
• Polynome:
  Horner-Schema mit Anwendung zur Polynomdivision
  Nullstellen und ihre Vielfachheit
  Fundamentalsatz der Algebra

Inhalt:

• Satz über die Zerlegung reeller Polynome
• Rationale Funktionen:
  Polynomdivision
  ggT, gekürzte Form von rationalen Funktionen
  Definitionsbereich und k-fache Polstellen
• Polynominterpolation:
  Lagrange-Methode

Inhalt:

• Newton-Interpolation
• Folgen:
  Definition, Beispiele
  Monotonie, Beschränktheit
  Konvergenz - Grenzwertdefinition
  Eindeutigkeit von Grenzwerten

Inhalt:

• Konvergenz => Beschränktheit
• Bestimmte Divergenz: Die uneigentlichen Grenzwerte +/- Unendlich
• Grenzwertregeln für Summen-, Produkt-, Quotienten-, Absolutbetrag- und Wurzelfolgen 
  Anwendungsbeispiele
• Reihen: geometrische und arithmetische Reihe
• Vergleichskriterium: Anwendung für die Folge der n-ten Wurzeln aus n

Inhalt:

• Monotoniekriterium:
  beschränkte monoton wachsende/fallende Folgen konvergieren gegen das Supremum/Infimum 
  Anwendung für geometrische Folgen und Reihen
• Cauchy-Kriterium
  Anwendung für alternierende Reihen von monotonen Nullfolgen
• Eulersche Zahl e als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten von n

Inhalt:

• Eulersche Zahl e als Grenzwert der Folge (1+1/n)^n
• Exponentialfunktion exp(x)  als Grenzwert der Folge (1+x/n)^n
• Natürlicher Logarithmus ln x  als Umkehrfunktion von exp(x)
• Funktionengrenzwerte:
  Definition und Grenzwertregeln 
  Vergleichskriterium mit Anwendung für f(x)=(sin x)/x an der Stelle 0

Inhalt:

• Weitere Anwendungen des Grenzwerts von f(x)=(sin x)/x
• Stetige Ergänzung von Funktionen bei Lücken im Definitionsbereich
• Stetigkeit:
  Definition und Charakterisierung mit der epsilon-delta-Bedingung
  gleichmäßige Stetigkeit 
  Eigenschaften von Funktionen, die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig sind
• Asymptoten
  Definition von vertikalen, horizontalen und schrägen Asymptoten einer Funktion

Inhalt:

• Asymptoten von rationalen Funktionen
• Asymptotisches Wachstum von Funktionen und Landau-Symbole
  Motivation: Laufzeitanalyse
  Definitionen von O, \Omega, \Theta, o und \omega
  Charakterisierung durch Quotientenfolgen
  Werkzeuge zur Analyse
  log(n!) \in O(n log n)

Inhalt:

• Weitere Werkzeuge zur O-Notation
• Einführung in die Differentialrechnung:
  Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitbarkeit
  Physikalische, geometrische und analytische Deutung der Ableitung
  Differenzierbarkeit => Stetigkeit
  Betragsfunktion als Gegenbeispiel für die Umkehrung

Inhalt:

• Ableitung von Standardfunktionen
• Differentiationsregeln 
  Summen, Produkte, Quotienten
  Kettenregel
• höhere Ableitungen

Inhalt:

• Mittelwertsatz der Differentialrechnung (MWS):
  Lokale Extremstellen und stationäre Punkte
  Satz von Rolle  als Spezialfall des MWS
  Beweis des MWS
  Implikationen aus dem MWS zur Bestimmung lokaler Extrema
  Krümmung von Funktionskurven

Inhalt:

• Krümmung von Kurven und Wendepunkte
• Aspekte einer Kurvendiskussion
• Verallgemeinerter Mittelwertsatz
• Regel von Bernoulli-L'Hospital
  Anwendungen

Inhalt:

• Satz über die Ableitung von Umkehrfunktionen und Anwendungen:
  Wurzelfunktionen
  Winkelfunktionen
  Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus
  Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Inhalt:

• Nummerische Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen und  Fixpunkten:
  Begriffserklärungen und gegenseitige Rückführung der beiden Aufgabenstellungen
  Bisektionsverfahren und Regula falsi zur Nullstellenapproximation
  Verfahren zur Fixpunktiteration

Inhalt:

• Fortsetzung zu nummerischen Verfahren:
  Beweis der Konvergenzeigenschaften der Fixpunktiteration
  Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
  Vergleich von Konvergenzgeschwindigkeiten für iterative Verfahren
• Integralrechnung: unbestimmtes Integral
  Stammfunktion und unbestimmtes  Integral einer Funktion
  Tabelle der Grundintegrale