• Syllabus

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Vorlesung 1 - 15.04.2025

  • Organisatorisches
  • kurzer historischer Abriss
  • Zahlbereiche
  • Geometrische Interpretation von R, R2 und R3
     

Vorlesung 2 - 22.04.2025

  • Der Vektorraum ℝn
  • Rechnen mit Vektoren: Addition, additives Inverse, Subtraktion, Skalarmultiplikation, Nullvektor
  • Geometrische Interpretation der Addition mit Parallelogrammen
  • Geometrische Interpretation der Skalarmultiplikation als Streckung, Stauchung bzw. Streckspiegelung
  • Lineare Gleichungen über ℝ
  • Struktur der Lösungsmengen linearer Gleichungen

Vorlesung 3 - 25.04.2025

  • Lineare Gleichungen: Beweis der Strukturaussage für Lösungsmengen,geometrische Interpretation der Lösungsmengen fürn 2 und 3 Variablen
  • Lineare Gleichungssysteme: Definition, geometrische Interpretation der Lösungsmengen für 2 und 3 Variablen
  • Matrizen: Definition, Nullmatrix

Vorlesung 4 - 29.04.2025

  • Spezielle Matrizen: Nullmatrix, Diagonalmatrizen, Einheitsmatrix, Spaltenvektoren, Zeilenvektoren
  • Koeffizientenmatrix und erweiterete Koeffizientenmatrix von LGS
  • Addition, additive Inverse, Subtraktion, Skalarmultiplikation für Matrizen
  • Matrixmultiplikation

Vorlesung 5 - 02.05.2025

  • Beweis der Eigenschaften der Matrixmultiplikation
  • Matrixmultiplikation und LGS
  • Zeilenstufenform, Pivotelemente
  • Rücksubstitution, Lösen von LGS in Zeilenstufenform, freie Parameter

Vorlesung 6 - 06.05.2025

  • elementare Zeilenoperationen
  • Gaußsches Eliminationsverfahren zur Herstellung einer Zeilenstufenform
  • Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Vorlesung 7 - 09.05.2025

  • Gauß-Algorithmus für ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem (Beispiel)
  • Aussagen
  • Verknüpfungen von Aussagen
  • Negation, Kontraposition und Umkehrung von Implikationen
  • Quantoren

Vorlesung 8 - 13.05.2025

  • Negation von Aussagen mit Quantoren
  • Einblick in Mengenlehre (ZFC, Kontinuumshypothese, Russellsche Antinomie)
  • Mengenoperationen mit Rechenregeln
  • kartesisches Produkt, geordnete Paare, n-Tupel

Vorlesung 9 - 16.05.2025

  • Potenzmengen
  • Konsruktion der natürlichen Zahlen
  • Peano-Axiome der Arithmetik
  • Abbildungen
  • Bild, Urbild, Faser
  • Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
  • Umkehrabbildungen bijektiver Abbildungen
  • Komposition von Abbildungen

Vorlesung 10 - 20.05.2025

  • Satz über Eigenschaften der Komposition von Abbildungen
  • Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme im Zusammenhang mit In-/Sur-/Bijektivität
  • Äquivalenzrelationen
  • Restklassen

Vorlesung 11 - 23.05.2025

  • Gleichmächtigkeit von Mengen
  • Kardinalität von Mengen
  • Rechenregeln für Kardinalitäten endlicher Mengen
  • Charakterisierung unendlicher Mengen als genau die Mengen, die zu einer echten Teilmenge gleichmächtig sind
  • Gruppen
  • abelsche Gruppen
  • Symmetrische Gruppe
  • Untergruppen

Vorlesung 12 - 27.05.2025

  • Transpositionen
  • Verknüpfungstafeln
  • Normalteiler
  • Quotientengruppe
  • Restklassenarithmetik

Vorlesung 13 - 30.05.2025

  • Gruppenhomomorphismen und -isomorphismen
  • Kern und Bild von Gruppenhomomorphismen
  • Homomorphiesatz

Vorlesung 14 - 03.06.2025

  • Ringe
  • Nullteiler
  • Einheitengruppe
  • Zusammenhang zwischen Einheitengruppe und Nullteilerfreiheit
  • Ringhomomorphismen
  • Unterringe

Vorlesung 15 - 06.06.2025

  • Körper
  • Komplexe Zahlen (Definition, Rechenregeln, Körpereigenschaft, Gaußsche Zahlenebene, Polarform)
  • Charakteristik eines Körpers

Vorlesung 16 - 10.06.2025

  • Vektorräume
  • Untervektorräume
  • erzeugte Untervektorräume

Vorlesung 17 - 13.06.2025

  • Erzeugendensysteme
  • Lineare Unabhängigkeit
  • Basen von Vektorräumen
  • Zusammenhang zur Darstellung von Vektoren als Linearkombination

Vorlesung 18 - 17.06.2025

  • Basen sind minimale Erzeugendensysteme und maximal linear unabhängige Familien
  • Basisergänzungssatz
  • Austauschlemma und Basisaustauschsatz
  • Existenz von Basen in endlich erzeugten Vektorräumen
  • Dimension eines Vektorraums
  • Dimension von Untervektorräumen

Vorlesung 19 - 20.06.2025

  • Dimension der Summe von Vektorräumen
  • lineare Abbildungen
  • zu einer Matrix assoziierte lineare Abbildung
  • lineare Abbildungen im Zusammenspiel mit Erzeugendensystemen, linearer Unabhängigkeit und Basen
  • Umkehrabbildungen bijektiver linearer Abbildungen sind linear
  • Verknüpfungen von linearen Abbildungen sind linear
  • lineare Abbildungen sind durch Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt

Vorlesung 20 - 24.06.2025

  • Bild und Kern linearer Abbildungen
  • Dimensionsformel
  • Vektorräume gleicher Dimension sind isomorph
  • Rang von linearen Abbildungen / Rang von Matrizen
  • Rangsatz
  • Invarianz des Rangs unter elementaren Zeilenoperationen