Studium

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Eine quadratische Form über einen kommutativen Ring ist eine Funktion, die sich wie das Quadrat des Betrages eines Vektors in den reellen Vektorraum verhält. Zum Beispiel, ist X²+Y²-Z² eine quadratische Form über den ganzen Zahlen, den reellen Zahlen oder den rationalen Zahlen. Da die quadratische Formen über vielen unterschiedlichen betrachtet werden können, tauchen sie in vielen Teilgebieten der Mathematik auf: Elementargeometrie, Zahlentheorie, algebraische Geometrie, Topologie. In diesem Seminar werden wir die Grundlagen der quadratischen formen studieren. Sobald wir die nötigen Definitionen kennen, beschäftigen wir uns mit der Klassifikation der quadratischen Formen über den reellen Zahlen, den Zahlkörpern, den endlichen Körpern, den lokalen Körpern und den ganzen Zahlen. Dies führt zu einer schönen und nützlichen Theorie.

A quadratic form over a commutative ring is just a homogeneous polynomial of degree two in a number of variables. For example X²+Y²-Z² is a quadratic form over the integers, the real numbers or the rational numbers. Quadratic forms play very impotent roles in many branches of mathematics, especially in number theory and arithmetic algebraic geometry. The goal of this seminar is to study the quadratic forms over finite fields, local fields, the real numbers, global fields, and the integers. We are going to classify the quadratic forms over these rings. The general method is to find invariants from the quadratic forms and then classify these quadratic forms up to these invariants.

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