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Inhalt

Im ersten Teil der Vorlesung werden wir auf das Standardmodell der euklidischen Geometrie eingehen. Dies beinhaltet insbesondere affine Koordinatensysteme und affine Abbildungen. Dieser "analytische" Teil soll im weiteren Verlauf der Vorlesung als Anschauung dienen. Es wird ein Grundverständnis der zugrundeliegenden algebraische Strukturen wie Körper und Vektorräume vorausgesetzt.

Den längeren Teil der Vorlesung werden wir uns im Anschluss mit der "synthetischen Geometrie" befassen. Die (moderne) synthetische Geometrie geht von axiomatisch formulierten "geometrischen" Grundsätzen aus, die die geometrischen Objekte Punkte, Geraden, Ebenen usw. implizit durch ihre Beziehungen zueinander definieren, und untersucht die logischen Abhängigkeiten zwischen unterschiedlich formulierten Axiomensystemen.

Grundlage unserer Betrachtung wird Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie sein. Diese Axiome kann man in folgende Klassen einteilen:

  • Inzidenzaussagen (z.B." Je zwei verschiedene Punkte liegen auf einer Geraden" )
  • Anordnungsaussagen (z.B. "Der Punkt C liegt zwischen den Punkten A und B" )
  • Kongruenzaussagen (z.B. " zwei Strecken sind gleichlang " )
  • Parallelitätsaussagen (z.B. " zwei Geraden sind parallel " )

 

Zur vertiefenden Anschauung und zum Verständnis wird der eigenständige Gebrauch der interaktiven Geometriesoftware Cinderella (www.cinderella.de) empfohlen.

Contents

The first part of the lecture will be lectured on the standard model of Euclidean geometry. In particular it will contain affine coordinate systems and affine maps. This analytic part should serve as notion. A basic understanding of the underlying algebraic structures such as fields and vector spaces is assumed.

The main part of the lecture will be spent on synthetic geometry. The modern synthetic geometry is based on axiomatically formulated principles definig geometrical objects such as points, lines, planes, etc. implicitly depending on each other. Further, it investigates logical depences between differently formulated systems of axioms.

The basis of our investigation will be Hilbert's system of axioms of the Euclidean geometry. These axioms can be subdivided into different statements like

  • incidence (i.e. "Every two different points lie on a line."),
  • order (i.e. "The point C lies between the points A and B."),
  • congruence (i.e. "Two sections are isometric."),
  • parallelism (i.e. "Two lines are parallel.").

To deepen one's notion of the presented objects and one's understanding the independent use of the interactive geometry software Cinderella (www.cinderella.de) is recommended.

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