Proseminar/Seminar zur Geometrie der Zahlen

Sommersemester 2025

Termine

Neuigkeiten

• Hier ist die Übersicht über die Themenzuordnung, die noch freien Themen und die Termine. (Stand: 28.04.2025)
• Die ersten Vorträge sind am 23.05.2025. Am 30.05.2025 sind keine Vorträge.
• Die Ausarbeitungen müssen spätestens 7 Tage vor dem Vortragstermin über Whiteboard-Assignments hochgeladen werden. Weitere Informationen stehen im Infoblatt.
• Die Vorbesprechung und Themenvergabe sind am 25.04.2025.

Kursbeschreibung

Das Proseminar/Seminar beschäftigt sich mit Minkowskis "Geometrie der Zahlen". Diese eröffnet nicht nur eine geometrische Perspektive auf algebraische Zahlentheorie, sondern ermöglicht auch interessante Anwendungen in der diskreten Geometrie und der kombinatorischen Optimierung. Konkreter bietet sich das Eintauchen in folgende Themen an:

* Minkowskis klassische Theoreme über konvexe Körper

* Gaußsche Zahlen, Fermats Zwei-Quadrate-Satz und Legendres Vier-Quadrate-Satz

* Algebraische Zahlkörper, die Endlichkeit der Klassenzahl und Dirichlets Einheitensatz

* Lineare Gleichungssysteme über den ganzen Zahlen: Hermite- und Smith-Normalform

* Grundlagen der Gittertheorie

* Gitterbasisreduktion und der LLL-Algorithmus

* Das Problem des kürzesten Vektors

* Dichte Kugelpackungen

* Khinchine's flatness theorem

* Ganzzahlige lineare Programmierung in fester Dimension

Die Liste soll nur einen groben thematischen Überblick geben. Die konkreten Vortragsthemen werden später und in Absprache mit den Teilnehmer:innen festgelegt.

Nötige Vorkenntnisse: Lineare Algebra und eine gewisse Vertrautheit mit den Grundbegriffen der Algebra, etwa "Gruppe", "Ring", "Körper", "Ideal", "Normalteiler", etc.

Literatur

• Andreas Paffenholz: Lattices in Optimization, lecture notes, 2022
• Jan-Hendrik Evertse: Geometry of Numbers, lecture notes (Diophantine Approximation), 2019
• Evan Dummit: The Geometry of Numbers, lecture notes (Number Theory 2), 2021
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer
• Friedrich Eisenbrand: Integer Programming and Algorithmic Geometry of Numbers, in: Jürgen Reinelt et al. (eds.), 50 Years of Integer Programming 1958-2008: From the Early Years to the State-of-the-Art, Springer

Zusätzliche Informationen

Whiteboard: Um an der Veranstaltung teilnehmen zu können, müssen Sie sich im Whiteboard-System der FU anmelden. Die Whiteboard-Seite dient als Homepage für die Veranstaltung.

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