Funktionentheorie ist ein klassisches Gebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften komplex-differenzierbarer Funktionen auf der komplexen Zahlenebene beschäftigt und Verbindungen zur Algebra, Analysis, Zahlentheorie und Geometrie hat.

Der Begriff der komplexen Differenzierbarkeit beschränkt reell-differenzierbare Funktionen von R2 auf R2 auf winkelerhaltende Abbildungen ein. Wir werden entdecken, dass komplex-differenzierbare Funktionen recht starre Objekte sind und dadurch aber mit vielen erstaunlichen analytischen, geometrischen und visuellen Eigenschaften ausgestattet sind.

Ein Hauptergebnis, das in dieser Vorlesung behandelt wird, ist Cauchys Integralsatz welcher besagt, dass das Integral jeder komplex differenzierbaren Funktion entlang eines geschlossenen Weges in der komplexen Ebene Null ist. Wir werden viele schöne Konsequenzen dieses Ergebnisses sehen, z.B. die Cauchy‘sche Integralformel, den Residuensatz und einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, sowie auch moderne graphische Darstellungsmethoden kennenlernen.

Literatur

Literatur:

E. Freitag and R. Busam 'Complex analysis', (Springer) 2nd Edition 2009 (the original German version is called 'Funktionentheorie')