Die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen war eine der größten Errungenschaften der Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts. Nach dem Jordan Hölder-Satz hat jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe, die aus endlichen einfachen Gruppen besteht. So können endliche einfache Gruppen als Bausteine für alle endlichen Gruppen angesehen werden. Gemäß dem Klassifikationssatz ist eine endliche nicht-abelianische einfache Gruppe entweder eine alternierende Gruppe oder eine einfache Gruppe vom Typ Lie oder eine der 26 sporadischen Gruppen, die nicht zu einer unendlichen Familie gehören. In diesem Seminar wird die Theorie der einfachen Gruppen vom Typ Lie als Gruppen Automorphismen der einfachen Lie-Algebren von den Grundlagen her diskutiert. Die klassischen einfachen Gruppen werden vorgestellt und dann werden Wurzelsysteme und Weylgruppen, Chevalley-Gruppen und deren Struktur untersucht. Nachdem wir uns mit Automorphismen von Chevalley-Gruppen beschäftigt haben, werden wir am Ende des Seminars einige geometrische Strukturen vorstellen, die mit einfachen Gruppen vom Typ Lie verbunden sind.

Lehrbuch: Einfache Gruppen vom Lügentyp, Roger Carter, Reine und Angewandte Mathematik Band XXVIII, 1972

 Seminarplan:  Ein detaillierter Plan der Gespräche wird nach dem ersten Treffen vorliegen. 1. Treffen: Es werden die klassischen einfachen Gruppen vorgestellt (K. Ersoy).

2. Treffen: Weyl-Gruppen und Wurzelsystem. Abstrakte Wurzelsysteme, Grundsysteme, Längenfunktion, Definitionen durch Generatoren und Beziehungen und Kammersysteme.

Drittes Treffen: Einfache Lie-Algebren, Subalgebren, Cartan-Zerlegung, Wurzeln einer einfachen Lie-Algebra, Dynkin-Diagramme, Beschreibungen einfacher Lie-Algebren, Existenz- und Isomorphentheoreme

4. Sitzung: Chevalley-Gruppen, Chevalley-Basis, Strukturkonstanten, die Exponentialkarte, Algebren über beliebigen Feldern, die Gruppen A_1(K)

5. Sitzung: Unipotente Untergruppen, Chevalley Kommutator Formel.

6. Treffen: Root SL(2,K)-Subgruppen, ihre Homomorphismen

Der Rest des Plans wird nach dem ersten Treffen bekannt gegeben.

Zusätzliche Informationen

Organisation:  Dies ist ein Seminar, in dem die Teilnehmer die Vorträge halten; für Richtlinien zur Vorbereitung Ihres Vortrags siehe auf den Seminarplan. Bitte senden Sie mir eine E-Mail (ersoy@zedat.fu-berlin.de), wenn Sie eines der Vorträge reservieren möchten oder Fragen haben. 

Voraussetzungen:  Lineare Algebra.