Inhalt

Dies ist der zweite Teil einer zweisemestrigen Vorlesungsreihe zur Linearen Algebra. Es wird ein wichtiges Klassifikationsresultat der linearen Algebra beschrieben, das in den letzten Jahren Anwendungen im Bereich Big Data erfahren hat. Diese Anwendungen werden ebenfalls erläutert. Die jordansche Normalform wird wiederholt und ihre Version über den reellen Zahlen vorgestellt. Die Theorie der Bilinear- und Sesquilinearformen sowie der euklidischen und unitären Vektorräume wird entwickelt.

Zu den Themen gehören:

• Graphen und Köcher, das königsberger Brückenproblem

• Köcherdarstellungen, unzerlegbare Darstellungen, der Satz von Krull-Schmidt

• Lineare Köcher vom Typ A

• Reflexionsfunktoren

• Simplizialkomplexe und ihre Homologie, Rips-Komplexe und beständige Homologie

• Anwendungen auf Big Data

• der Hauptsatz der Algebra

• die jordansche Normalform über den reellen Zahlen, Anwendungen auf Differenzialgleichungen

• Bilinear- und Sesquilinearformen und ihre Darstellungsmatrizen

• Normierte Vektorräume

• Orthonormalbasen

• Orthogonale und unitäre Endomorphismen

• Selbstadjungierte Endomorphismen

• Der Trägheitssatz von Sylvester

• Positiv definite Matrizen

• Ausblick: Hilberträume

Literatur

• T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel, Mathematik, 2. überarb. Aufl., Heidelberg, Spektrum Akademischer Verlag, 2012, xiv+1506 S. ISBN 978-3-642-40472-6/set.

• R. Diestel, Graphentheorie, 5. überarb. und erw. Aufl., Berlin: Springer, 2017, xviii+355 S. 

• G. Fischer, Lineare Algebra, eine Einführung für Studienanfänger, 16. überarb. und erw. Aufl., Vieweg Studium: Grundkurs Mathematik, Wiesbaden, Friedr. Vieweg & Sohn, 2008, xxii+384 S. ISBN 978-3-6

• W. Klingenberg, Lineare Algebra und Geometrie, 3. Aufl., Springer-Lehrbuch, Berlin, Springer-Verlag, 1992, xiii+293 S. ISBN 978-3-642-77646-5. 

• St. Y. Oudot, Persistence theory. From quiver representations to data analysis, Mathematical Surveys and Monographs 209, Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2015, viii+218 S.

• Skript