Inhalt

Nach einer kurzen historischen Einleitung, werden wir im ersten Teil der Vorlesung auf das Standardmodell der Euklidischen Geometrie eingehen. Dies beinhaltet insbesondere affine Koordinatensysteme und affine Abbildungen. Dieser "analytische" Teil soll im weiteren Verlauf der Vorlesung als Anschauung dienen. Es wird ein Grundverständnis der zugrundeliegenden algebraische Strukturen wie Körper und Vektorräume vorausgesetzt.

Den längeren Teil der Vorlesung werden wir uns im Anschluss mit der "synthetischen Geometrie" befassen. Die (moderne) synthetische Geometrie geht von axiomatisch formulierten "geometrischen" Grundsätzen aus, die die geometrischen Objekte, Punkte, Geraden, Ebenen usw. implizit durch ihre Beziehungen zueinander definieren. Grundlage unserer Betrachtung wird Hilberts Axiomensystem der Euklidischen Geometrie sein. Diese Axiome kann man in folgende Klassen einteilen:

• Inzidenzaussagen (z.B." Je zwei verschiedene Punkte liegen auf einer Geraden" )
• Anordnungsaussagen (z.B. "Der Punkt C liegt zwischen den Punkten A und B" )
• Kongruenzaussagen (z.B. " zwei Strecken sind gleichlang " )
• Parallelitätsaussagen (z.B. " zwei Geraden sind parallel " )

Wir werden die logischen Abhängigkeiten zwischen unterschiedlich formulierten Axiomensystemen untersuchen: Projektive Geometrie, Absolute Geometrie, Euklidische Geometrie, Nichteuklidische Geometrie.  Konstruktionen mit Zirkel und Lineal  und dessen Zusammenhang mit Körpererweiterungen werden wir auch betrachten.

Zur vertiefenden Anschauung und zum Verständnis wird der eigenständige Gebrauch der interaktiven Geometriesoftware Cinderella (www.cinderella.de) empfohlen.

Literatur

• Literatur

   

  Agricola, I.; Friedrich, T.: Elementargeometrie. Vieweg 2005.

  Bottema, O.: Topics in Elementary Geometry. Springer 2008

  Courant, R.; Robbins, H.: Was ist Mathematik? Springer 2001.

  Coxeter: Introduction to Geometry. 

  Euklid: Elemente.

  Hartshorne, R.: Geometry: Euclid and Beyond. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer 2000.

  Milne, J.S.: Fields and Galois Theory. http://www.jmilne.org/math/

  Schulz, R.-H.: Elementargeometrie. Vorlesungsskript FU;  http://page.mi.fu-berlin.de/rhschulz/Elgeo-Skript/elgeo.html

  Yaglom, I.M.: Geometric Transformations.

   

  Cinderella 2 Software. https://www.cinderella.de/tiki-index.php