• Syllabus

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Vorlesung 1 - 18.10.2023

  • Organisatorisches
  • Rekapitulation Lineare Algebra I
  • Ausblick auf Lineare Algebra II
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Vorlesung 2 - 20.10.2023

  • Symmetrische Gruppe, Permutationen, Transpositionen
  • Signum einer Permutation, Signum ist Gruppenhomomorphismus
  • Transpositionen als Erzeuger der symmetrischen Gruppe
  • Leibniz-Formel für die Determinante, Sarrus-Regel

Vorlesung 3 - 25.10.2023

  • Weierstraß-Axiome, Eindeutigkeit der Determinante
  • Rechenregeln für die Determinante
  • Determinantenberechnung durch Gaußsche Elimination
  • Determinante der transponierten Matrix
  • Komplementäre Matrix

Vorlesung 4 - 27.10.2023

  • Cramersche Regel
  • Laplace-Entwicklung
  • Algebraische Konstruktion des Polynomrings, Ringeigenschaften

Vorlesung 5 - 01.11.2023

  • Polynomring: Rechenoperationen, Vektorraumeigenschaften
  • Grad von Polynomen, Gradsatz, Invertierbarkeit
  • Division mit Rest
  • Polynomabbildung
  • Nullstellen mit Vielfachheit
  • Irreduzibilität
  • Algebraisch abgeschlossene Körper
  • Nullstellen von reellen Polynomen, komplexe Konjugation, Zerlegung von reellen Polynomen in irreduzible Faktoren

Vorlesung 6 - 03.11.2023

  • Endomorphismen
  • Determinante eines Endomorphismus, Zusammenhang mit Darstellungsmatrizen, Unabhängigkeit von der Wahl der Basis
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • charakteristisches Polynom
  • algebraische Vielfachheit

Vorlesung 7 - 08.11.2023

  • Eigenräume
  • geometrische Vielfachheit vs. algebraische Vielfachheit
  • Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen

Vorlesung 8 - 10.11.2023

  • Beispiele zu Diagonalisierbarkeit und Diagonalisierung
  • Einsetzen von Endomorphismen in Polynome
  • Minimalpolynom (Definition, Existenz, Eindeutigkeit, Formel für diagonalisierbare Endomorphismen)

Vorlesung 9 - 15.11.2023

  • Zerlegungssatz für in Polynome eingesetzte Endomorphismen
  • Haupträume und Hauptvektoren
  • Hauptraumzerlegung 1. Teil
  • Nullstellen des Minimalpolynoms sind Eigenwerte und andersherum

Vorlesung 10 - 22.11.2023

  • Hauptraumzerlegung, der Tragödie 2. Teil
  • Nilpotente Endomorphismen
  • Jordan-Chevalley-Zerlegung
  • Jordanketten
  • Satz von Cayley-Hamilton
  • Jordanblöcke
  • Jordansche Normalform, wenn das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom ist

Vorlesung 11 - 24.11.2023

  • Zerlegung in zyklische invariante Unterräume für nilpotente Endomorphismen
  • Jordansche Normalforn

Vorlesung 12 - 29.11.2023

  • Bilinearformen
  • Darstellungsmatrizen von Bilinearformen
  • Transformationsformel für Bilinearformen
  • symmetrische, antisymmetrische, alternierende, nicht ausgeartete Bilinearformen

Vorlesung 13 - 01.12.2023

  • Rang einer Bilinearform
  • Diagonalisierung symmetrischer Bilinearformen
  • Trägheitssatz von Sylvester
  • Signatur einer symmetrischen reellen Bilinearform

Vorlesung 14 - 06.12.2023

  • Beweis des Trägheitssatzes
  • (Semi-)positive/negative Definitheit
  • Skalarprodukte
  • Euklidische Vektorräume
  • vom Skalarprodukt induzierte Norm und Metrik
  • Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Vorlesung 15 - 08.12.2023

  • Winkel, Kosinussatz für Dreiecke
  • Orthogonalität, Orthogonalsysteme, orthogonales Komplement
  • Satz des Pythagoras
  • Orthonormalbasen
  • orthogonale Projektion

Vorlesung 16 - 13.12.2023

  • Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
  • Orthogonale Endomorphismen und Matrizen
  • Orthogonale Gruppe und spezielle orthogonale Gruppe
  • Eigenwerte von orthogonalen Matrizen
  • Charakterisierung von orthogonalen Matrizen

Vorlesung 17 - 15.12.2023

  • Orthogonale Gruppen O(1), O(2), O(3) und spezielle orthogonale Gruppen SO(1), SO(2), SO(3)
  • Normalform für orthogonale Endomorphismen
  • Satz vom Fußball
  • Existenz und Eindeutigkeit des adjungierten Endomorphismus

Vorlesung 18 - 20.12.2023

  • Selbstadjungierte Endomorphismen, Zusammenhang zu symmetrischen Bilinearformen und Matrizen
  • Reelle symmetrische Matrizen haben reelle Eigenwerte
  • Normale Endomorphismen, Zusammenhang zu selbstadjungierten und orthogonalen Endomorphismen
  • Spektralsatz
  • Eigenwerte und Eigenräume von Drehspiegelungen in der Ebene

Vorlesung 19 - 22.12.2023

  • Orthogonalität von Eigenräumen normaler Matrizen
  • Algorithmus für orthonormale Diagonalisierung
  • Charakterisierung von positiv definiten Matrizen (Eigenwerte, Zerlegung als BTB)
  • Quadratwurzeln von Matrizen, Existenz und Eindeutigkeit für positiv definite Matrizen

Vorlesung 20 - 10.01.2024

  • Affine Abbildungen
  • Affine Unterräume
  • Bewegungen

Vorlesung 21 - 12.01.2024

  • Bewegungen als Komposition von Translationen und orthogonalen Endomorphismen
  • Orientierung von Bewegungen
  • Klassifikation von Bewegungen im R^2: Identität, Drehung, Translation, Achsenspiegelung, Gleitspiegelung

Vorlesung 22 - 17.01.2024

  • Bildergalerie von Bewegungen der Ebene
  • Kegelschnitte mit euklidischen Normalformen

Vorlesung 23 - 19.01.2024

  • Polynomring in mehreren Unbestimmten
  • Quadriken (Definition, Matrixschreibweise, Verhalten unter affinen Transformationen)
  • Kegelschnitte sind Quadriken

Vorlesung 24 - 24.01.2024

  • Rang von (erweiterten) Darstellungsmatrizen, nicht ausgeartete Quadriken
  • Hauptachsentransformation - 1. Teil

Vorlesung 25 - 26.01.2024

  • Hauptachsentransformation, 2. Teil
  • Klassifikation von Quadriken im R^2 und R^3 bis auf Bewegungen

Vorlesung 26 - 31.01.2024

  • Projektiver Raum
  • Projektive Unterräume
  • zwei verschiedene projektive Hyperebenen schneiden sich

Vorlesung 27 - 02.02.2024

  • Projektive Abbildungen und Transformationen
  • Projektive Quadriken (homogene Polynome, Hauptachsentransformation, Klassifikation in der Ebene)

Vorlesung 28 - 07.02.2024

  • Duale Vektorräume und Linearformen
  • Duale Basen
  • Annullatoren von Untervektorräumen

Vorlesung 29 - 09.02.2023

  • projektive Dualität in der projektiven Ebene
  • duale lineare Abbildung (mit Darstellungsmatrix, Kern-Bild-Annihilator-Relationen)
  • Zeilenrang = Spaltenrang

Vorlesung 30 - 14.02.2024

  • Zusammenhang zwischen linearer Abbildung und dualer linearer Abbildung
  • Doppeldualraum, kanonischer Isomorphismus, doppelduale lineare Abbildungen
  • inverses Problem zum Lösen linearer Gleichungssysteme via Annullatoren
  • allgemeinere Bilinearformen, nicht ausgeartete Bilinearformen

Vorlesung 31 - 16.02.2024

  • Dualräume von euklidischen Vektorräumen: Orthogonalität vs. Annullatoren
  • dyadisches Produkt von Vektoren im K^n
  • Tensorprodukt via Universaleigenschaft