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In der homologischen Algebra beschäftigt man sich mit Komplexen in abelschen
Kategorien und deren Kohomologie. Dies führt u.A. zum Begriff des
Quasiisomorphismus zwischen Komplexen. Zudem beobachtet man, dass
homotope Homomorphismen zwischen Komplexen denselben Homomorphismus
auf der Kohomologie induzieren. Zur derivierten Kategorie einer abelschen Kategorie
gelangt man, indem man die Homotopiekategorie der Komplexe bildet, in der
die Morphismen aus Homotopieäquivalenzklassen von Homomorphismen von
Komplexen bestehen, und fordert, dass Quasiisomorphismen Isomorphismen werden.
Inbesondere der letzte Schritt ist technisch aufwändig. Die derivierte Kategorie einer
abelschen Kategorie ist i.A. keine abelsche Kategorie mehr. An die Stelle von kurzen
exakten Sequenzen treten ausgezeichnete Dreiecke. Man formalisiert diesen Begriff
durch das Konzept einer triangulierten Kategorie. Die bekannten Funktoren aus der
homologischen Algebra können nun elegant als Funktoren zwischen derivierten
Kategorien eingeführt werden. Die derivierten Kategorien sind auch für sich
genommen sehr interessante Objekte. Dies gilt insbesondere für die derivierten
Kategorien algebraischer Varietäten, die sich aus den abelschen Kategorien der
kohärenten Garben auf den Varietäten ergeben.
Im Seminar sollen die Grundbegriffe der Theorie der triangulierten Kategorien und die
Konstruktion derivierter Kategorien besprochen werden. Das besondere Augenmerk
liegt dabei auf den derivierten Kategorien algebraischer Varietäten. Wir möchten
zunächst Kapitel 1 bis 3 aus dem Buch von Huybrechts durchnehmen. Wenn danach
noch Zeit bleibt, werden geeignete ausgewählte Themen besprochen.
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Gelfand, S.I.; Manin, Y.I.: Methods of homological algebra, second edition, Springer
Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2003, xx+372 S.
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Hartshorne, R.: Residues and duality, Lecture notes of a seminar on the work of A.
Grothendieck, given at Harvard 1963/64, with an appendix by P. Deligne, Lecture
Notes in Mathematics, Bd. 20, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1966, vii+423 S.
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Huybrechts, D.: Fourier-Mukai transforms in algebraic geometry, Oxford
Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford,
2006, viii+307 S.
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Soergel, W.: Derivierte Kategorien und Funktoren, Vorlesungsskript, Mathematisches
Institut, Universität Freiburg, 2017, 121 S.
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Weibel, Ch.A.: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in
Advanced Mathematics, Bd. 38, Cambridge University Press, Cambridge, 1994,
xiv+450 S.
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