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Zielgruppe: B.Sc./M.Sc. Mathematik und M.Sc. Physik

Die Vorlesung richtet sich vorrangig an Studierende mit Ziel B.Sc. oder M.Sc. Mathematik, eignet sich aber auch als Wahlfach für Physikstudenten. Die begleitende Übung ist verpflichtend und stellt inhaltlich eine wesentliche Ergänzung dar. Die Vorlesung wird nach Absprache auf Deutsch oder Englisch gehalten, das Skript ist auf Englisch.

Voraussetzungen: Stochastik I, relle und komplexe Analysis, lineare Algebra

Inhalt: Die Vorlesung gibt eine Einführung in stochastische Prozesse mit Anwendungen in den Naturwissenschaften. Wir werden zunächst eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung stochastischer Prozesse entwickeln, um diese dann für Gaußsche Prozesse und Markovketten zu vertiefen. Das "mikroskopische" Gegenstück zu dieser Beschreibung bilden stochastische Differentialgleichungen, mit denen sich die Zufallspfade vieler stetiger Prozesse darstellen lassen. Eine wichtige Klasse sind Diffusionsprozesse mit ihren zahlreichen Anwendungen. Die grobe Struktur der Vorlesung ist wie folgt:

1. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
(etwas Maßtheorie und Lebesgue-Integral, bedingte Erwartung, erzeugende Funktionen)

2. Stochastische Prozesse und Korrelationsfunktionen
(Gaußsche Prozesse, Wiener-Khinchin-Theorem, Brownsche Bewegung, Martingale)

3. Markovketten
(Satz von Perron-Frobenius, Mastergleichung, Gleichgewicht, Metropolis-Hastings-Algorithmus)

4. Einführung zu Stochastische Differentialgleichungen
(Ito-Integral und -kalkül, Stratonovich-Integral, stetige Martingale, Ito-Diffusion)

5. [ Diffusionsprozesse ]
(infinitesimaler Erzeuger, Fokker-Planck-Gleichung, Dynkin-Formel, First-exit-time-Probleme, Randwertprobleme)

Literatur (alphabetisch sortiert):

Gardiner: Handbook of Stochastic Methods (Springer, 2004)
Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie (Springer, 2013)
Meintrup & Schäffler: Stochastik (Springer, 2005)
Øksendal: Stochastic Differential Equations (Springer, 2010)
van Kampen: Stochastic Processes in Physics and Chemistry (Elsevier, 2007)

weiterführende Literatur:

Bauer: Probability Theory (De Gruyter, 1996)
Dynkin: Markov processes (Springer, 1965)
Feller: Probability Theory and Its Applications, Bd. 1 und 2 (Wiley, 1968-1971)
Kallenberg: Foundations of modern probability (Springer, 2002)
Jacod and Protter: Probability Essentials (Springer, 2004)

Kriterien für das Bestehen des Moduls

Zum Erwerb der Leistungspunkte des Moduls sind

das bestehen der Prüfung,
die aktive Teilname am Übungsbetrieb und
die regelmäßige Teilname am Übungsbetrieb

notwendig. Am Ende des Semesters wird eine mündliche oder schriftliche Prüfung stattfinden. Die Note des Moduls entspricht der Note der Prüfung.
Die aktive Teilname am Übungsbetrieb gilt als erbracht, wenn 80% der schriftlichen Hausaufgaben sinnvoll bearbeitet wurden. Eine Aufgabe gilt als sinnvoll bearbeitet, wenn aus der abgegebenen Lösung ersichtlich ist, dass eine tiefere Auseinandersetzung mit der Aufgabe stattgefunden hat. Es ist nicht zwingend erforderlich, dass die Lösung korrekt ist.

Ablauf des Übungsbetriebs

Es wird jede Woche Mittwoch ein Übungsblatt geben. Dies enthält etwa zwei Tutoriumsaufgaben und etwa zwei Hausaufgaben. Die Tutoriumsaufgaben werden im folgenden Tutorium von den Student*innen in kleinen Gruppen gelöst. Lösungen zu den Hausaufgaben müssen nach einer Woche schriftlich in Gruppen von zwei Personen abgegeben werden. Die Abgabe erfolgt in das Tutorenfach von Felix Henneke bis spätestens Mittwoch 12:00 Uhr. Lösungen zu ausgewählte Hausaufgaben werden im folgenden Tutorium besprochen.

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Kriterien für das Bestehen des Moduls

Prüfung:

2.te Prüfung: