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For the second part you may want to consult notes and videos of Vic Reiner's Lectures.
In particular, the lectures of Feb 10, 12, 15 and Mar 10, 12, 15.

Methoden der kommutativen Algebra in der (abzählenden) Kombinatorik.
Eine Auswahl der folgenden Themen:

• Stanley-Reisner Theorie
• Monomideale und ihre Auflösungen
• (Gröbner-Basen und generische Initialideale)
• Alexander-Dualität
• (torische Ideale und Halbgruppenringe)
• Hilbert-Reihen
• Dimension, Tiefe, Cohen-Macaulay
• (lokale Kohomologie, kanonische Moduln, Gorenstein, Dualität)
• Lefschetz Elemente, Kähler-Paket, Unimodalität

Literatur

[MS] Miller, Sturmfels: Combinatorial Commutative Algebra; Springer GTM 227.
[S] Stanley: Combinatorics an Commutative Algebra; Birkhäuser PM41.
[BG] Bruns, Gubeladze: Polytopes, Rings, and K-Theory; Springer SMM
[AY] Adiprasito, Yashfe: The Partition Complex: an invitation to combinatorial commutative algebra; arXiv:2008.01044 [math.CO]