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Inhalt:

Dies ist der erste Teil einer dreisemestrigen Einführung in die mathematische Grunddisziplin Analysis. Behandelt wird die Differenzial- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen. Themen:

• Die reellen Zahlen

• Der Grenzwertbegriff (Folgen und Reihen)

• Funktionen (Stetigkeit und Differenzierbarkeit)

• Potenzreihen

• Das Regelintegral

Literatur:

• [Bl] Blatter, Ch.: Analysis 1. Springer-Verlag. xi+369 S.

• [Fo] Forster, O.: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg. viii+208 S.

• [Kn] Königsberger, K.: Analysis 1. Springer. xiv+414 S.

• [Ru] Rudin, W.: Analysis. R. Oldenburg Verlag. ix+408 S.

• [Fr] Fritzsche, K.: Grundkurs Analysis 1 - Differentiation und Integration in einer Veränderlichen. Spektrum Verlag. xii+372 S.

• [Sch] Schmidt, A.: Skript Analysis I

Zahlreiche Beispiele, Anwendungen und nützliche Anmerkungen findet man in

• [Ar] Arens, T. , et al.: Mathematik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 2008. xiv+1496 S.

Die folgenden Bücher geben einen historischen Zugang zur Analysis:

• [HW] Hairer, E., Wanner, G: Analysis in historischer Entwicklung. Springer. 2011. xi+405 S.

• [Kr] Körle, H.-H.: Die phantastische Geschichte der Analysis. Ihre Probleme und Methoden seit Demokrit und Archimedes. Dazu die Grundbegriffe von heute. Oldenbourg. 2009. xiv+217 S.

Zusätzliche Informationen:

Übungsblätter werden donnerstags vor 12:00 Uhr ins KVV gestellt. Abgabe ist mittwochs 23:59 Uhr in der auf die Ausgabe folgenden Woche. Rückgabe der korrigierten Übungsblätter erfolgt in den Tutorien in der darauf folgenden Woche. 

Die Abgabe der Übungsblätter erfolgt in 2er- oder 3er-Gruppen.

Aktive Teilnahme: Für die aktive Teilnahme müssen Sie zum Ende des Semesters mindestens 140 der 268 möglichen Punkte (also ca. 52%) aus der Übungsblättern erreicht haben und mindestens eine Aufgabe im Tutorium an der Tafel vorgerechnet haben. Die Verantwortung für das Vorrechnen tragen Sie selbst. Es ist sinnvoll, sich frühzeitig zum Vorrechnen zu melden.

Bestehen und Note des Kurses ergeben sich aus der abschließenden Klausur. Es gilt die Freischussregelung, d.h. auch wer die erste Klausur besteht, darf die Wiederholungsklausur mitschreiben und die bessere Note zählt.

Die Klausur findet am 19.02.2019 von 8-10 Uhr im Hörsaal 1b (Rost-/Silberlaube, Habelschwerdter Allee 45) statt. Außer Stiften und Radiergummi sind keine Hilfsmittel zugelassen, auch kein eigenes Papier. Bitte bringen Sie einen gültigen Studierendenausweis und einen Lichtbildausweis mit.

Die Nachklausur findet am 02.04.2019 von 8-10 Uhr im Hörsaal 1b (Rost-/Silberlaube, Habelschwerdter Allee 45) statt. Außer Stiften und Radiergummi sind keine Hilfsmittel zugelassen, auch kein eigenes Papier. Bitte bringen Sie einen gültigen Studierendenausweis und einen Lichtbildausweis mit. Die Klausureinsicht findet am Donnerstag, den 11.04.2019, 9:30 - 10:30 Uhr, in der Arnimallee 6 (Pi-Gebäude), Raum 136, statt (bitte Studentenausweis mitbringen). Der Raum könnte sich auf Grund von Bauarbeiten noch ändern, das wird dann per Announcement bekanntgegeben.

Das Mentoring-Programm bietet wöchentlich einen Termin an (montags, 12 - 14 Uhr, Arnimallee 6, SR 007/008, bei den erfahrenen Mentorinnen Alexandra Wesolek und Sarah Roth), um euch beim Verständnis des Stoffes sowie beim Lösen und korrekten Aufschreiben der Aufgaben zu unterstützen. Dazu wird auf den ersten zwei Übungsblättern je eine Aufgabe als "Mentoring-Aufgabe" festgelegt, ab Blatt 3 wird eine (unbepunktete) Zusatzaufgabe zur Mentoring-Aufgabe. Wir möchten euch dieses Angebot wärmstens ans Herz legen.

Die Tutorien starten in der zweiten Vorlesungswoche (das erste Tutorium findet also am 23.10. statt).

Dozent, Übungsleiter, Tutoren:

Peter Koltai: peter.koltai@fu-berlin.de (Vorlesung)

Ilja Klebanov: klebanov@zib.de (Übungsleitung); im November vertreten durch Andreas Bittracher: bittracher@mi.fu-berlin.de

Robin Chemnitz: robin.chemnitz@gmx.de (Tutorium 1, Di 14-16 Uhr, A3/SR 024, und Tutorium 4, Do 14-16 Uhr, T9/SR 051)

Yannic Wendt: yannic.wendt@gmx.de (Tutorium 2, Mi 14-16 Uhr, A6/SR 009 und Tutorium 3, Di 14-16 Uhr, A6/SR 009)

Gliederung:

I. Der Aufbau des Zahlensystems

    I.1 Die natürlichen Zahlen
         [Kn, Kap. 1], [Bl, Kap. 2.1], [Fo, §1]

       1.1  Peono’sche Axiome
        1.2  Beweisprinzip der vollständigen Induktion
        1.3  Addition & Multiplikation
        1.4  Assoziativ-, Kommutativ-, und Distributivgesetz
        1.5  Anordnung auf N
        1.6  Schreibweisen und Rekursion

    I.2 Die ganzen Zahlen

        1.7  Gruppe
        1.8  Äquivalenzrelationen
        1.9  Restklassen
        1.10 Konstruktion von Z
        1.11 Neutrales und inverses Element, Subtraktion
        1.12 Wohldefiniertheit der Operationen auf Z

    I.3 Die rationalen Zahlen
         [Bl, Kap. 2.2-2.3], [Fo, §2-3]

        1.13 Konstruktion von Q
        1.14 Addition und Multiplikation auf Q
        1.15 Körpereigenschaften
        1.16 Anordnung auf Q
        1.17 Eigenschaften der Anordnung
        1.18 Absolutbetrag
        1.19 Dreiecksungleichung
        1.20 Archimedisches Axiom
        1.21 Ausblick: reelle Zahlen

    I.4 Die komplexen Zahlen
         [Bl, Kap. 2.6], [Kn, Kap. 3]

       1.22 Der Körper C
       1.23 Absolutbetrag und Konjugation

II. Folgen

    II.1 Grundbegriffe
          [Kn, Kap. 5.1-5.2], [Fo, §4]

        2.1  Folge
        2.2  Grenzwert
        2.3  Eindeutigkeit des Grenzwertes
        2.4  Beschränktheit konvergenter Folgen
        2.5  Summe, Produkt und Quotient von Folgen
        2.6  Limes und Ordnung
        2.7  Cauchyfolge

    II.2 Die reelle Zahlen und ihr Vollständigkeit
          [HW, Kap. III.1], [Kn, Kap. 2.3, 5.3-5.6], [Bl, Kap. 2.4], [Fo, §5]

        2.8  Q ist nicht vollständig
        2.9  Konstruktion von R
        2.10 Operationen auf R
        2.11 Ordnung auf R
        2.12 Dichtheit von Q in R
        2.13 Vollständigkeit von R
       2.14 Häufungspunkte
        2.15 Monotonie
        2.16 Infimum und Supremum

    II.3 Mächtigkeit
          [Kn, Kap. 2.4], [Fo, §9]

        2.17 Abzählbarkeit
        2.18 Q ist abzählbar
        2.19 R ist überabzählbar

III. Reihen

    III.1 Grundbegriffe
           [Kn, Kap. 6.1], [Fo, §7]

        3.1  Unendliche Reihe
        3.2  Cauchy-Kriterium
        3.3  Glieder einer konvergenten Reihe bilden eine Nullfolge
        3.4  Summe und Vielfaches von Reihen
        3.5  Absolute Konvergenz
        3.6  Umordnung von Reihen

    III.2 Spezielle Konvergenzkriterien
           [Kn, Kap. 6.2], [Fo, §7]

        3.7  Majorantenkriterium
        3.8  Quotientenkriterium
        3.9  Leibniz-Kriterium

IV. Funktionen und Stetigkeit

    IV.1 Grundbegriffe
           [Fo, §10], [Kn, Kap. 4]

        4.0  Grundbegriffe
        4.1  Operationen auf Funktionen

    IV.2 Stetige Funktionen
           [Fo, §10], [Kn, Kap. 7.1-7.2]

        4.2  Stetigkeit
        4.3  Lokale Trennung
        4.4  Folgenkriterium für Stetigkeit
        4.5  Stetigkeit und Elementaroperationen
        4.6  Komposition

    IV.3 Minimum, Maximum und der Zweischenwertsatz
           [Fo, §11], [Kn, Kap. 7.4-7.5]

        4.7  Extremwerte auf abgeschlossenen Intervallen
        4.8  Zwischenwertsatz

    IV.4 Gleichmäßige Stetigkeit
           [Fo, §11], [Kn, Kap. 7.5]

        4.9  Gleichmäßige und Lipschitz-Stetigkeit
        4.10 Hinreichendes Kriterium für gleichmäßige Stetigkeit

    IV.5 Der Raum der beschränkten Funktionen

        4.11 Vektorraum
        4.12 Raum der stetigen Funktionen
        4.13 Norm
        4.14 Die Supremumsnorm

    IV.6 Gleichmäßige Konvergenz
           [Kn, Kap 15.1-15.3], [Ru, 7.1-7.15], [Fo, §21]

        4.15 Folgen stetiger Funktionen
        4.16 Gleichmäßige Konvergenz
        4.17 Cauchyfolge von Funktionen
        4.18 Vollständigkeit von B[a,b]
        4.19 Vollständigkeit von C[a,b]
        4.20 Weierstraß’scher Approximationssatz ([Kn, Kap. 15.5], [Fo, §22 Satz 8])

V. Differentialrechnung

        5.0  Leibniz’s Motivation - Tangentenproblem

    V.1 Ableitungen
         [Kn, Kap. 9.1], [Fo, §15]

        5.1  Differenzierbarkeit
        5.2  Lineare Approximation
        5.3  Differenzierrbar impliziert stetig
        5.4  Höhere Ableitungen

    V.2 Ableitungsregeln
          [Kn, Kap. 9.2], [Fo, §15]

        5.5  Linearität der Ableitung
        5.6  Produktregel
        5.7  Quotientenregel
        5.8  Kettenregel

    V.3 Mittelwertsätze
          [Kn, Kap. 9.3], [Fo, §16]

        5.9  Lokale Extrema
        5.10 Satz von Rolle
        5.11 Mittelwertsatz

    V.4 Der Taylor’sche Satz
          [Ru, 5.13-5.15], mit Integralrechnung: [Kn, Kap. 14.1]

        5.12 Taylor-Entwicklung
        5.13 Folgerungen
        5.14 Regel von l’Hospital
        5.A  Exkursion: Newton-Verfahren
        (vgl. [Fo, §17]. [Kn, Kap. 14.4])

    V.5 Monotone und konvexe Funktionen
         [Fo, §16]. [Kn, Kap. 9.3 (Monotonie), 9.7 (Konvexität)]

        5.15 Monotonie
        5.16 Umkehrfunktion und Stetigkeit ([Fo, §12, Satz 1])
        5.17 Wurzelfunktion
        5.18 Umkehrfunktion und Differenzierbarkeit
        5.19 Ableitung und Monotonie
        5.20 Ableitung und lokale Extrema
        5.21 Konvexität

    V.6 Funktionenfolgen
         [Ru, 7.17]

        5.22 Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierbarkeit (vgl. [Fo, §21, Satz 5], [Kn, Kap. 9.5])

VI. Potenzreihen und elementare Funktionen

    VI.1 Potenzreihen
           [Fo, §21], [Kn, Kap. 6.4]

        6.1  Funktionenreihen
        6.2  Konvergenzradius
        6.3  Ableitung von Potenzreihen
        6.4  Potenzreihen sind beliebig „glatt“
        6.5  Identitätssatz für Potenzreihen

    VI.2 Die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus
           [Fo, §8, §12], [Kn, Kap. 8.1-8.4]

        6.6  Die Exponentialfunktion und ihre Ableitung
        6.7  Eine Differentialgleichung
        6.8  Exp von Summe
        6.9  Die Eulersche Zahl
        6.10 Exp wächst schneller als jedes Polynom
        6.11 Eine unendlich „flache“ Funktion
        6.12 Glatte Stufenfunktion
        6.13 Der natürliche Logarithmus
        6.14 Ableitung von ln
        6.15 Logarithmus vom Produkt
        6.16 Logarithmus zur Basis a
        6.17 Log wächst langsamer als jede Potenz

    VI.3 Die Kreisfunktionen
           [Fo, §14], [Kn, Kap. 8.6-8.8]

        6.18 Sinus und Cosinus
        6.19 Ableitung von sin und cos
        6.20 sin^2 + cos^2 = 1
       6.21 Eine zweite Differentialgleichung
        6.22 Harmonische Schwingung
        6.23 Additionstheoreme für sin und cos
        6.24 Pi
        6.25 Periodizität von sin und cos
        6.26 Arkusfunktionen

    VI.4 Die komplexe Exponentialfunktion
           [Fo, §13], [Kn, Kap. 8.9]

        6.27 Komplexe Exponentialreihe
        6.28 Eulersche Formel
        6.29 Formel von de Moivre
        6.30 Polardarstellung
        6.31 Komplexe Einheitswurzel

VII. Das Integral

        7.1  Die Idee des Integrals

    VII.1 Treppenfunktionen und Regelfunktionen
             [Kn, Kap. 11.1-11.2]

        7.2  Zerlegung (Partition)
        7.3  Treppenfunktionen
        7.4  Regelfunktion
        7.5  R[a,b] ist abgeschlossen unter Folgenkonvergenz
        7.6  Existenz einseitiger Grenzwerte
        7.7  Einseitige Grenzwerte sind hinreichend
        7.8  C[a,b] Teilraum von R[a,b]
        7.9  Monotone Funktionen sind Regelfunktionen

    VII.2 Das Integral von Regelfunktionen
            [Kn, Kap. 11.3]

        7.10 Eine Zwischensumme
        7.11 Integral von Treppenfunktionen
        7.12 Integral hängt nicht vom Repräsentanten ab
        7.13 Integral von Regelfunktionen
        7.14 Monotonie des Integrals
        7.15 Vertauschung von Integral und Grenzwertbildung
        7.16 Additivität bezüglich des Integrationsbereiches
        7.17 Riemann-Integral
                (vgl. [Kn, Kap. 11.8], [Fo, §13])

    VII.3 Integration und Differentiation
            [Kn, Kap. 11.4]

        7.18 Stammfunktion
        7.19 Integral und Stammfunktion
        7.20 Stammfunktion und links- bzw. rechtsseitige Grenzwerte
        7.21 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    VII.4 Partielle Integration
            [Kn, Kap. 11.4]

        7.22 Das Prinzip der partiellen Integration
        7.23 Beispiele
        7.24 Lagrange’sches Restglied: Explizite Darstellung

    VII.5 Substitution
            [Kn, Kap. 11.4]

        7.25 Substitution (engl.: Change of variables)
        7.26 Beispiele

    VII.6 Uneigentliche Integrale
            [Kn, Kap. 11.9]

        7.27 Unbeschränkt Funktionen
        7.28 Ein Majorantenkriterium
        7.29 Absolut integrierbar impliziert integrierbar
        7.30 Unendliche Intervalle
        7.31 Die Gammafunktion
        7.32 Integralkriterium für Reihen
        7.33 Die Riemann’sche Zetafunktion