Lectures:

This course will cover the basics of computational algebraic geometry, including the core algorithms in the subject, as well as introduce some of the most common algebraic varieties which occur in applications. We will gain familiarity with software for algebraic geometry, including the systems Macaulay 2, Singular, Bertini, and PHCpack. Students will complete a final project in the subject which will be presented to the class in lieu of a final exam. Grading will be based on final projects and some written/computer work through the term.

Expected topics to cover:

•     Algebraic-geometric dictionary
•     Resultants and elimination
•     Gröbner bases, including algorithms based on Groebner bases
•     Solving polynomial systems symbolically
•     Solving systems of polynomial equations using numerical continuation
•     Certification of numerical solutions. Smale's α-theory
•     Numerical algebraic geometry. Witness sets and numerical irreducible decomposition
•     Real root counting. Sturm's theorem. Fewnomial theory
•     Toric ideals
•     Toric degenerations and Khovanskii bases

Dieser Kurs behandelt die Grundlagen der computergestützten algebraischen Geometrie, einschließlich der Kernalgorithmen im Fachgebiet, und stellt einige der gängigsten algebraischen Varianten vor, die in Anwendungen vorkommen. Wir werden mit Software für algebraische Geometrie vertraut werden, einschließlich der Systeme Macaulay 2, Singular, Bertini und PHCpack. Die Studierenden absolvieren eine Abschlussarbeit im Fach, die der Klasse anstelle einer Abschlussprüfung vorgelegt wird. Die Einstufung basiert auf Abschlussarbeiten und einigen schriftlichen und computergestützten Arbeiten während des Semesters.

Themen, die behandelt werden sollen:

•     Algebraisch-geometrisches Wörterbuch
•     Resultanten und Eliminierung
•     Gröbner-Basen, einschließlich Algorithmen auf Basis von Gröbner-Basen
•     Symbolische Lösung von Polynomsystemen
•     Lösen von Systemen von Polynomgleichungen unter Verwendung der numerischen Fortsetzung
•     Zertifizierung von numerischen Lösungen. Smale's α-Theorie
•     Numerische algebraische Geometrie. Zeugen-Mengen und numerische irreduzible Zerlegung
•     Reelle Wurzelzählung. Sturm's Theorem. Fewnomial Theorie
•     Torische Ideale
•     Torische Degenerationen und Khovanskii-Basen