Inhalt

Die klassische Funktionentheorie untersucht Eigenschaften komplexer Funktionen und gehört zum Standardrepertoire der Mathematikausbildung mit vielfältigen Anwendungen zum Beispiel in der Algebra, Analysis, Differentialgeometrie und Zahlentheorie.

Obwohl der grundlegende Begriff der komplexen Differenzierbarkeit nahezu identisch zum reellen Fall definiert wird, führt diese Eigenschaft zu reichhaltigen, erstaunlichen Ergebnissen bis hin zu fraktalen Formen.

Ein zentrales Resultat ist sicherlich der Cauchy-Integralsatz, aus dem viele weitere Aussagen ohne allzu viel Aufwand folgen, u.a. ein weiterer Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra, der berühmte Residuensatz, der oftmals Anwendung in der Auswertung reeller Integrale findet, sowie das Maximumprinzip und der Satz von Liouville, die beide Anwendung z.B. in der Analyse partieller Differentialgleichungen finden.

Ausgehend vom Begriff der komplexen Zahl werden wir die bemerkenswerten Eigenschaften komplexer Funktionen herleiten und dabei insbesondere neue, interaktive Visualisierungstechniken vorstellen und einsetzen.

Einführung in die Funktionentheorie einer komplexen Veränderlichen

• Komplexe Zahlen (Definition, Folgen, Reihen, Potenzreihen)
• Holomorphe Funktionen (Definition der komplexen Differenzierbarkeit, Cauchy Integralformeln, Potenzreihenentwicklung, Fundamentalsatz der Algebra)
• Die Logarithmusfunktion
• Der Residuensatz
• Meromorphe Funktionen (Definition, die Riemannsche Zahlenkugel, Laurent-Reihen)
• weitere Themen

Literatur:

Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6.

T. Needham: Anschauliche Funktionentheorie, Oldenbourg Wissenschaftsverlag, (2001).

Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-59075-7

Elias Wegert: Visual Complex Functions, Birkhäuser, Basel 2012, 270 pp, ISBN 978-3-0348-0179-9

Inhalt

• Grundlagen der Maß- und Integrationstheorie: Lebesgue-Integral, Wahrscheinklichkeitsmaße
• Schwache Konvergenz: charakteristische Funktionen, momenterzeugende Funktionen
• Summen unabhängiger Zufallsvariable: Grenzwertsätze, Anwendungen (Konvergenzraten, große Abweichungen, Monte-Carlo-Integration)
• Abhängige Zufallsvariable: bedingte Wahrscheinlichkeit, bedingter Erwartungswert, Anwendungen (Markovketten, Stoppzeiten/Wiederkehrzeiten)
• Theorie der Markovkette: Klassifikation, stationäre Verteilung, Ergodentheorie, Anwendung (Markov-Ketten-Monte-Carlo)
• Martingale: Filtrationen, Martingalkonvergenz, Anwendungen (optimales Stoppen, Aktienoptionsbewertungen)

Literatur

In der Mathebibliothek gibt es einen umfangreichen Handapparat zur Stochastik.

1. H. Bauer. Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 1991.
2. K. Chung. markov chains with stationary transition probabilities. Springer, Berlin, 1960.
3. J. Elstrodt. Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin 2005.
4. D. Meintrup, S. Schäffler. Stochastik: Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin, 2005.

Zielgruppe

Studierende ab dem 4. Semester

Voraussetzungen

Stochastik I, Analysis I und II

Skript

Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität ?Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und ?Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geomery I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

Inhalt

1. Ergänzungen zur Analysis I. Regel von Bernoullil'Hospital. Taylorreihen. Weitere Konvergenzkriterien von Reihen.
2. Elemente der Topologie. Normierte und metrische Räume. Offene Mengen. Konvergenz. Abgeschlossene Mengen. Stetigkeit. Kompaktheit.
3. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher. Partielle, totale und stetige Differenzierbarkeit. Satz über die Umkehrfunktion. Satz über implizite Funktionen im R2.
4. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Grundlegende Begriffe, Elementar lösbare Differentialgleichungen, Existenz- und Eindeutigkeitsresultate für Systeme.
5. Integration. Integration stetiger Funktionen. Erweiterung auf stückweise stetige Funktionen. Trapezregel. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Literatur

• Abbott, Stephen: Understanding Analysis, Springer
• Fleming, W.H.: Functions of several variables,
• Addison-Wesley Forster, O: Analysis I, 2, Vieweg
• Hildebrandt, Stefan: Analysis I, 2, Springer
• Königsberger, K: Analysis 1,2, Springer
• Behrends, Ehrhard: Analysis Band 1 und 2, Vieweg
• Spivak, Michael: Calculus, 1st, 2nd or 3rd Edition,
• Addison-Wesley Spivak, Michael: Calculus on manifolds, W.A. Benjamin

Inhalt

1. Jordansche Normalform (Wiederholung, JNF über IR, Anwendungen auf Differenzialgleichungen)
2. Weyrsche Normalform (Zentralisatoren, der Satz von Gerstenhaber)
3. Euklidische und unitäre Vektorräume (Bilinear- und Sesquilinearformen, Orthonormalisierung, selbstadjungierte Endomorphismen)
4. ausgewählte Themen zur Vertiefung

Literatur

• T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel: Mathematik, 2. überarb. Aufl., Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2012, xiv+1506 S.
• E. Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Noten zu einer Vorlesung mit historischen Anmerkungen von Erhard Scholz), Braunschweig - Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn, 1983, viii+636 S.
• Th. de Jong: Lineare Algebra, Pearson Studium, München: Pearson Higher Education, 2013, 238 S.
• G. Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, 16. überarb. und erw. Aufl., Vieweg Studium: Grundkurs Mathematik, Wiesbaden: Vieweg, 2008, xxii+384 S.
• W. Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie, 3. Aufl., Springer-Lehrbuch, Berlin: Springer-Verlag, 1992, xiii+293 S.

Zu den Kommentaren der Veranstaltung

Bitte beachten Sie, dass dieses Modul aus zwei Komponenten besteht:

1. Plenumsveranstaltung (Dienstag 10.00-12.00Uhr): Diese Veranstaltung findet in der Gesamtgruppe statt.

2. Übungen (Di 12.00-14.00Uhr oder 14.00-16.00Uhr): Für diese Veranstaltung können Sie sich einen der beiden zuvor genannten Zeitslots aussuchen. Für die Wahl wird in der ersten Plenumsveranstaltung ein Wahlzettel ausgehändigt.

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1. Plenumsveranstaltung (Dienstag 10.00-12.00Uhr): Diese Veranstaltung findet in der Gesamtgruppe statt.

2. Übungen (Di 12.00-14.00Uhr oder 14.00-16.00Uhr): Für diese Veranstaltung können Sie sich einen der beiden zuvor genannten Zeitslots aussuchen. Für die Wahl wird in der ersten Plenumsveranstaltung ein Wahlzettel ausgehändigt.

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Mehr Informationen finden Sie unter: https://www.wiwiss.fu-berlin.de/fachbereich/bwl/pwo/gersch/Lehrangebote/lehrveranstaltungen_abv/Funpreneur-Wettbewerb/index.html

Studien- und Prüfungsordnung Grundschulpädagogik (BA)

Studien- und Prüfungsordnung Grundschulpädagogik (BA)

Die Mathematische Schülergesellschaft „Leonhard Euler“ (MSG) ist eine außerunterrichtliche, kostenlose Einrichtung zur Förderung von mathematisch interessierten und begabten Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe mit Sitz am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin in Kooperation mit anderen Berliner Hochschulen, derzeit der Technischen Universität, der Freien Universität und der Hochschule für Technik und Wirtschaft.

Seit 1970 werden in der Mathematischen Schülergesellschaft „Leonhard Euler“ mathematisch interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler gefördert. In über 20 wöchentlichen Kursen erhalten die ca. 250 Teilnehmerinnen und Teilnehmern aus den Klassenstufen 5 bis 12 spannende Einblicke in verschiedene Teilgebiete der Mathematik über den Schulstoff hinaus. Schwerpunkte liegen auf problemorientiertem Arbeiten, wissenschaftlichen Methoden und dem Training für mathematische Wettbewerbe. 

Die Mitglieder der MSG treffen sich wöchentlich für zwei Stunden zur regelmäßigen Zirkelarbeit. Die Zirkel finden in den Räumlichkeiten der Berliner Universitäten und einiger Berliner Schulen statt -- insbesondere eben auch bei uns an der FU Berlin am Institut für Mathematik (c/o Prof. Günter M. Ziegler); geleitet werden sie von Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern der Unis, von Studierenden der Berliner Hochschulen, von (z.T. ehemaligen) Lehrerinnen und Lehrern der Berliner Schulen sowie anderen Mathematikaffinen. 

Die Mathematische Schülergesellschaft „Leonhard Euler“ (MSG) ist eine außerunterrichtliche, kostenlose Einrichtung zur Förderung von mathematisch interessierten und begabten Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe mit Sitz am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin in Kooperation mit anderen Berliner Hochschulen, derzeit der Technischen Universität, der Freien Universität und der Hochschule für Technik und Wirtschaft.

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Seit 1970 werden in der Mathematischen Schülergesellschaft „Leonhard Euler“ mathematisch interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler gefördert. In über 20 wöchentlichen Kursen erhalten die ca. 250 Teilnehmerinnen und Teilnehmern aus den Klassenstufen 5 bis 12 spannende Einblicke in verschiedene Teilgebiete der Mathematik über den Schulstoff hinaus. Schwerpunkte liegen auf problemorientiertem Arbeiten, wissenschaftlichen Methoden und dem Training für mathematische Wettbewerbe. 

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Die LV MatheProfi I.1 besteht wöchentlich aus einer Vorlesung und einem Tutorium (Übung, Teilnahmepflicht) sowie selbstständiger Arbeit im Umfang von ca. 6 h pro Woche (90 h gesamt). Zusätzlich bieten wir zu Ihrer Unterstützung eine Große Übung (Zentralübung) an, die freiwillig besucht werden kann.

Da im kommenden Semester vieles wieder über das Whiteboard (ehemals KVV) des Mathematikfachbereichs laufen wird, unter anderem die Einteilung in die Tutorien, ist eine Anmeldung zu dieser Veranstaltung im Whiteboard zwingend erforderlich: https://mycampus.imp.fu-berlin.de/portal

Literatur (online über FU Account):
Padberg, F., & Büchter, A. (2015). Einführung Mathematik Primarstufe - Arithmetik (Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I II). Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum. [es gibt auch eine neuere Auflage von 2019]
 

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