Zielgruppe: B.Sc./M.Sc. Mathematik und M.Sc. Physik

Die Vorlesung richtet sich vorrangig an Studierende mit Ziel B.Sc. oder M.Sc. Mathematik, eignet sich aber auch als Wahlfach für Physikstudenten. Die begleitende Übung ist verpflichtend und stellt inhaltlich eine wesentliche Ergänzung dar. Die Vorlesung wird nach Absprache auf Deutsch oder Englisch gehalten, das Skript und die Übungen sind auf Englisch.

Voraussetzungen: relle und komplexe Analysis, lineare Algebra

Inhalt: Die Vorlesung gibt eine Einführung in stochastische Prozesse mitAnwendungen in den Naturwissenschaften. Wir werden zunächst eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung stochastischer Prozesse entwickeln, um diese dann für Gaußsche Prozesse und Markovketten zu vertiefen. Das "mikroskopische" Gegenstück zu dieser Beschreibung bilden stochastische Differentialgleichungen, mit denen sich die Zufallspfade vieler stetiger Prozesse darstellen lassen. Eine wichtige Klasse sind Diffusionsprozesse mit ihren zahlreichen Anwendungen. Die Vorlesung schließt mit der Betrachtung der physikalischen Brownsche Bewegung (z.B. von Molekülen) als einem elementaren Beispiel für nicht-markovsche Dynamik ab.

1. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
   (etwas Maßtheorie, Lebesgue-Integral, bedingte Erwartung)

2. Stochastische Prozesse und Korrelationsfunktionen
   (Brownsche Bewegung, Gaußsche Prozesse, Wiener-Khinchin-Theorem, Martingale)

3. Markovketten
   (Theorem von Perron-Frobenius, Mastergleichung, Gleichgewicht, Metropolis-Hastings-Algorithmus)

4. Stochastische Differentialgleichungen
   (Ito-Integral und -kalkül, Stratonovich-Integral, Ito-Diffusion)

5. Diffusionsprozesse
   (infinitesimaler Erzeuger, Fokker-Planck-Gleichung, Dynkin-Formel, First-exit-time-Probleme, Randwertprobleme)

6. Molekulare Transportphänomene
   (Brownsche Bewegung in der Physik, Spektraltheorie von Korrelationsfunktionen, Zwanzig-Mori-Projektionsformalismus)