Inhalt:
Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von normierten (oder allgemeiner topologischen) Vektorräumen und stetigen Abbildungen zwischen ihnen befasst. Hierbei werden Analysis, Topologie und Algebra verknüpft.
Die Vorlesung behandelt Banach- und Hilberträume, lineare Operatoren und Funktionale sowie Spektraltheorie kompakter Operatoren.

Zielgruppe: Studierende vom 3./4. Semester an.

Voraussetzungen: Sicheres Beherrschen des Stoffs der Vorlesungen Analysis I/II und Lineare Algebra I/II.

Literatur:

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, 7. Auflage, Springer-Verlag 2011, ISBN 978-3-642-21016-7

Diese Vorlesung wird die Einführung in die Algebraische Topologie fortsetzen. Eine Auswahl aus folgenden Themen wird behandelt:

• Homotopiemengen, Homotopiegruppen und der Satz von Hurewicz
• Faserungen und Kofaserungen
• Bündel und klassifizierende Räume

Die vorgestellten Methoden werden durch Anwendungen auf verschiedenen klassischen Problemen der algebraischen Topologie veranschaulicht.

Books that can be used for some of these topics include:

1. G. Bredon: Topology and geometry, Springer GTM 139,
2. T. tom Dieck: Algebraic topology, EMS 2008
3. P. May: A concise course in algebraic topology, Chicago Lecture Notes in Mathematics, UChicago Press 1999
4. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-theory, online book
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Das Ziel dieses Seminars ist es, Studierende mit schönen und bedeutsamen Beweisen aus allen Gebieten der Mathematik, für welche keine tiefe mathematische Kenntnisse nötig sind, vertraut zu machen. In diesem Seminar werden wir verschiedene Kapitel des berühmten Buches "Das BUCH der Beweise" von Martin Aigner und Günter Ziegler lesen und präsentieren. Es ist zu unserem Vorteil, dass das Buch in vielen verschiedenen Sprachen verfügbar ist, und dass es auf eine sehrzugängliche Art und Weise verfasst wurde. Es ist ein wöchentliches Treffen geplant, jede Woche wird es eine Präsentation von einem Studierenden geben. Weitere Details werden am ersten Termin besprochen. 

Aigner & Ziegler: Das Buch der Beweise.

Deutsche Version:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-02259-3

English Version:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57265-8

In diesem Kurs behandeln wir die Topologie symmetrischer Produkte und geordneter sowie ungeordneter Konfigurationsräume.

1. T. tom Dieck: Algebraic topology, EMS 2008
2. P. May: A concise course in algebraic topology, Chicago Lecture Notes in Mathematics, UChicago Press 1999
3. John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences
4. Edward R. Fadell , Sufian Y. Husseini: Geometry and Topology of Configuration Spaces

Inhalt: Singuläre Homologie- und Kohomologietheorie mit Anwendungen, Homologie von CW-Komplexen, Grundbegriffe der Homotopietheorie

Literatur

• Hatcher, Allen: Algebraic Topology; Cambridge University Press.
• http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
• Lück, Wolfgang: Algebraische Topologie, Homologie und Mannigfaltigkeiten; Vieweg.

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Auswahl aus folgenden Themen:

1. Definition und Grundbegriffe topologischer Räume, Produkte, Coprodukte und Quotienten, Kompaktheit.
2. Gruppenoperationen auf topologischen Räumen
3. Verklebekonstruktionen
4. Homotopien zwischen Abbildungen, Abbildungsgrad und Fundamentalgruppe
5. Satz von Seifert-van Kampen
6. Überlagerungen

Literature:

1. Tammo tom Dieck: Topologie, De Gruyter Lehrbuch
2. Allen Hatcher: Algebraic Topology, Chapter I. Also available online from the author's website
3. Klaus Jänich: Topologie, Springer-Verlag
4. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag
5. James R. Munkres: Topology, Prentice Hall

Inhalt:

• Determinanten
• Eigenwerte und Eigenvektoren: Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit, Satz von Cayley-Hamilton, Jordansche Normalform
• Bilinearformen
• Vektorräume mit Skalarprodukt: Euklidische, unitäre Vektorräume, orthogonale Projektion, Isometrien, selbstadjungierte Abbildungen, Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren, Hauptachsentransformation

Voraussetzungen:

Lineare Algebra I
Literatur:
Wird in der Vorlesung genannt.

Siehe http://page.mi.fu-berlin.de/werner99/.

Eine Auswahl aus folgenden Themen wird behandelt:

• Homotopiemengen, Homotopiegruppen und der Satz von Hurewicz
• Faserungen und Kofaserungen
• verallgmeinerte Homologietheorien und Spektren
• Bündel und klassifizierende Räume
• Charakteristische Klassen
• niedrigdimensionale Topologie
• geometrische Gruppentheorie
• Spektralsequenzen und Kohomologieoperationen

Die vorgestellten Methoden werden durch Anwendungen auf verschiedenen klassischen Problemen der algebraischen Topologie veranschaulicht.

Books that can be used for some of these topics include:

1. G. Bredon: Topology and geometry, Springer GTM 139,
2. T. tom Dieck: Algebraic topology, EMS 2008
3. P. May: A concise course in algebraic topology, Chicago Lecture Notes in Mathematics, UChicago Press 1999
4. J. Milnor, J.D. Sasheff: Characteristic classes, (AM-76) Princeton University Press
5. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-theory, online book
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html

This class will be taught as a block course from May 23 to June 3 in the framework of a BMS Spring School. Students who would like to receive ungraded credit for this course will have to submit a short paper by the end of the semester.

The class consists of three lecture series:

1. Equivariant topology in discrete geometry (P. Blagojević)

2. Intersection results in convex geometry and topology and their combinatorial applications (F. Frick)

3. Fixed point theorems and their combinatorial applications (S. Zerbib)

Additionally there will be recitations and a few research-focussed talks by invited speakers. The goal of the three lecture series will be to explain recent and current work on geometric and topological methods in combinatorics. 

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Inhalt: Singuläre Homologie- und Kohomologietheorie mit Anwendungen, Homologie von CW-Komplexen, Grundbegriffe der Homotopietheorie

Literatur

• Hatcher, Allen: Algebraic Topology; Cambridge University Press.
• http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
• Lück, Wolfgang: Algebraische Topologie, Homologie und Mannigfaltigkeiten; Vieweg.

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

In the Pro seminar Topology I  topics  complementary to the  course Topology I will be discussed. In particular, we will talk about:

— Nets: Moore-Smith convergence

— Locally compact spaces

— Paracompact spaces

— Countability axioms

— Baire’s category theorem

— Urysohn’s lemma

— Urysohn’s metrication theorem 

— Tietze’s extension theorem

— Tychonov’s theorem for infinite products

— Compact open topology

— Compactly generates spaces

— Weak Haussdorf spaces

— Noetherian spaces

— Topological manifolds

— Partition of unity and imbedding of manifold 

— Cantor set and Peano curves

— Topology of SO(3)

— Fiber bundles

— Simplicial sets

— Classification of compact surfaces

It order to successful participate in this course it is recommended for the students to have some basic knowledge in Topology. Appropriate and complete literature for each of the topics will be provided.

Auswahl aus folgenden Themen:

1. Definition und Grundbegriffe topologischer Räume, Produkte, Coprodukte und Quotienten, Kompaktheit.
2. Gruppenoperationen auf topologischen Räumen
3. Verklebekonstruktionen
4. Homotopien zwischen Abbildungen, Abbildungsgrad und Fundamentalgruppe
5. Satz von Seifert-van Kampen
6. Überlagerungen

Literature:

1. Tammo tom Dieck: Topologie, De Gruyter Lehrbuch
2. Allen Hatcher: Algebraic Topology, Chapter I. Also available online from the author's website
3. Klaus Jänich: Topologie, Springer-Verlag
4. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag
5. James R. Munkres: Topology, Prentice Hall

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Inhalt:

• Eigenwerte und Eigenvektoren: Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit, Satz von Cayley-Hamilton, Jordansche Normalform
• Vektorräume mit Skalarprodukt: Euklidische, unitäre Vektorräume, orthogonale Projektion, Isometrien, selbstadjungierte Abbildungen, Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren, Hauptachsentransformation

Voraussetzungen:
Lineare Algebra I

Literatur:
Wird in der Vorlesung genannt.

Siehe http://page.mi.fu-berlin.de/werner99/.

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Inhalt:

• Grundbegriffe: Mengen, Abbildungen, Äquivalenzrelationen, Gruppen, Ringe, Körper
• Lineare Gleichungssysteme: Lösbarkeitskriterien, Gauß-Algorithmus
• Vektorräume: Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme und Basen, Dimension, Unterräume, Faktorräume, Vektorprodukt im R3
• Lineare Abbildungen: Bild und Rang, Zusammenhang mit Matrizen, Verhalten bei Basiswechsel
• Dualer Vektorraum: Multilinearformen, alternierende und symmetrische Bilinearformen, Zusammenhang mit Matrizen, Basiswechsel
• Determinanten: Cramersche Regel, Eigenwerte und -vektoren

Voraussetzungen:
Der Brückenkurs Mathematik ist zum Einstieg sehr zu empfehlen!

Literatur:
Siegfried Bosch, Lineare Algebra, 4. Auflage, Springer-Verlag, 2008;
Tammo tom Dieck, Lineare Algebra, Skript, Universität Göttingen Version vom 7.10.2014

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Das ist die erste Vorlesung in einem Zyklus von drei Vorlesungen in diskreter Geometrie. Das Ziel dieser Vorlesung ist es, mit diskreten Strukturen und verschiedenen Beweistechniken vertraut zu werden. Der Inhalt wird aus einer Auswahl aus den folgenden Themen bestehen:

Polyeder und polyedrische Komplexe
Konfigurationen von Punkten, Hyperebenen und Ünterräumen
Unterteilungen und Triangulierungen
Theorie von Polytopen
Darstellungen und der Satz von Minkowski-Weyl
Polarität, einfache und simpliziale Polytope, Schälbarkeit
Schälbarkeit, Seitenverbände, f-Vektoren, Euler- und Dehn-Sommerville Gleichungen
Graphen, Durchmesser, Hirsch Vermutung
Geometrie linearer Programmierung
Lineare Programme, Simplex-Algorithmus, LP Dualität
Kombinatorische Geometrie, geometrische Kombinatorik
Arrangements von Punkten und Geraden, Sylvester-Gallai, Erdös-Szekeres
Szemeredi-Trotter
Arrangements, Zonotope, zonotopale Kachelungen, orientierte Matroide
Beispiele, Beispiele, Beispiele
Reguläre Polyope, zentralsymmetrische Polytope
Extremale Polytope, zyklische/nachbarschaftliche Polytope, gestapelte Polytope
Kombinatorische Optimierung und 0/1-Polytope
 

• G.M. Ziegler "Lectures in Polytopes"
• J. Matousek "Lectures on Discrete Geometry"
• Further literature will be announced in class.

Gute Kenntnisse der linearen Algebra werden vorausgesetzt. Vorbildung in Kombinatorik und Geometrie sind hilfreich.

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geometry I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

Inhalt:

This is the second in a series of three courses on discrete geometry. The aim of the course is a skillful handling of discrete geometric structures with an emphasis on metric and convex geometric properties. In the course we will develop central themes in metric and convex geometry including proof techniques and applications to other areas in mathematics.

The material will be a selection of the following topics:
Linear programming and some applications

• Linear programming and duality
• Pivot rules and the diameter of polytopes

Subdivisions and triangulations

• Delaunay and Voronoi
• Delaunay triangulations and inscribable polytopes
• Weighted Voronoi diagrams and optimal transport

Basic structures in convex geometry

• convexity and separation theorems
• convex bodies and polytopes/polyhedra
• polarity
• Mahler’s conjecture
• approximation by polytopes

Volumes and roundness

• Hilbert’s third problem
• volumes and mixed volumes
• volume computations and estimates
• Löwner-John ellipsoids and roundness
• valuations

Geometric inequalities

• Brunn-Minkowski and Alexandrov-Fenchel inequality
• isoperimetric inequalities
• measure concentration and phenomena in high-dimensions

Geometry of numbers

• lattices
• Minkowski's (first) theorem
• successive minima
• lattice points in convex bodies and Ehrhart's theorem
• Ehrhart-Macdonald reciprocity

Sphere packings

• lattice packings and coverings
• the Theorem of Minkowski-Hlawka
• analytic methods

Applications in optimization, number theory, algebra, algebraic geometry, and functional analysis

The course will use material from P. M. Gruber, " Convex and Discrete Geometry" (Springer 2007) and various other sources. There will be brief lecture notes available for course participants with detailed pointers to the literature.

Solid background in linear algebra and some analysis. Basic knowledge and experience with polytopes and/or convexity (as from the course "Discrete Geometry I") will be helpful. .

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Das ist die erste Vorlesung in einem Zyklus von drei Vorlesungen in Diskreter Geometrie. Das Ziel dieser Vorlesung ist es, mit diskreten Strukturen und verschiedenen Beweistechniken vertraut zu werden. Der Inhalt wird aus einer Auswahl aus den folgenden Themen bestehen:

Polyeder und polyedrische Komplexe
Konfigurationen von Punkten, Hyperebenen und Unterräumen
Unterteilungen und Triangulierungen
Theorie von Polytopen
Darstellungen und der Satz von Minkowski-Weyl
Polarität, einfache und simpliziale Polytope
Schälbarkeit, Seitenverbände, f-Vektoren, Euler- und Dehn-Sommerville Gleichungen
Graphen, Durchmesser, Hirsch-Vermutung
Geometrie linearer Programmierung
Lineare Programme, Simplex-Algorithmus, LP Dualität
Kombinatorische Geometrie, geometrische Kombinatorik
Arrangements von Punkten und Geraden, Sylvester-Gallai, Erdős-Szekeres
Szemerédi-Trotter
Arrangements, Zonotope, zonotopale Kachelungen, orientierte Matroide
Beispiele, Beispiele, Beispiele
Reguläre Polyope, zentralsymmetrische Polytope
Extremale Polytope, zyklische/nachbarschaftliche Polytope, gestapelte Polytope
Kombinatorische Optimierung und 0/1-Polytope

• G.M. Ziegler "Lectures in Polytopes"
• J. Matousek "Lectures on Discrete Geometry"
• Further literature will be announced in class.

Gute Kenntnisse der linearen Algebra werden vorausgesetzt. Vorbildung in Kombinatorik und Geometrie sind hilfreich.

Inhalt:

• Homologie und Kohomologie von Verteilern, die Poincare-Dualitätsisomorphismus beweisen,
• Kohomologie-Operationen, die insbesondere Steenrodquadrate einführen,
• Vektorbündel, und
• Charakteristische Klassen, insbesondere werden wir Stiefely-Whiteny Klassen mit Steenrod Quadraten einführen.

Die vorgestellten Methoden werden durch Anwendungen zu verschiedenen klassischen Problemen der algebraischen Topologie veranschaulicht.

The books that can be used for these topics are:

1. G. Bredon: Topology and Geometry, Springer GTM 139,
2. J. Milnor, J.D. Sasheff: Characteristic classes, (AM-76) Princeton University press
3. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-theiry, online book
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html

In diesem Seminar behandeln wir aktuelle Forschungsprobleme der diskreten und rechnerischen Geometrie, die mit Methoden der algebraischen Topologie angegangen werden können. Ziel des Seminars ist es, Fortschritte in der Forschung zu erzielen und die Studierenden an potenzielle Forschungsthemen heranzuführen. Alle Seminare finden im Seminarraum der "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin statt.

Inhalt: Singuläre Homologie- und Kohomologietheorie mit Anwendungen, Homologie von CW-Komplexen, Grundbegriffe der Homotopietheorie

Literatur

• Hatcher, Allen: Algebraic Topology; Cambridge University Press.
• http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
• Lück, Wolfgang: Algebraische Topologie, Homologie und Mannigfaltigkeiten; Vieweg.

Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geometry I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

In this seminar we treat current research problems in discrete and computational geometry that can be approached using methods from algebraic topology. The aim of the seminar is to make advances in research and introduce students to potential research topics.
All seminars take place in the seminar room of the "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin.

http://wikis.fu-berlin.de/display/discgeom/Topology+I

-- this seminar will mostly take place in English --

In this seminar we treat current research problems in discrete and computational geometry that can be approached using methods from algebraic topology. The aim of the seminar is to make advances in research and introduce students to potential research topics.
All seminars take place in the seminar room of the "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin.

Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geometry I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

Inhalt:

This is the second in a series of three courses on discrete geometry. The aim of the course is a skillful handling of discrete geometric structures with an emphasis on metric and convex geometric properties. In the course we will develop central themes in metric and convex geometry including proof techniques and applications to other areas in mathematics.

The material will be a selection of the following topics:
Linear programming and some applications

• Linear programming and duality
• Pivot rules and the diameter of polytopes

Subdivisions and triangulations

• Delaunay and Voronoi
• Delaunay triangulations and inscribable polytopes
• Weighted Voronoi diagrams and optimal transport

Basic structures in convex geometry

• convexity and separation theorems
• convex bodies and polytopes/polyhedra
• polarity
• Mahler’s conjecture
• approximation by polytopes

Volumes and roundness

• Hilbert’s third problem
• volumes and mixed volumes
• volume computations and estimates
• Löwner-John ellipsoids and roundness
• valuations

Geometric inequalities

• Brunn-Minkowski and Alexandrov-Fenchel inequality
• isoperimetric inequalities
• measure concentration and phenomena in high-dimensions

Geometry of numbers

• lattices
• Minkowski's (first) theorem
• successive minima
• lattice points in convex bodies and Ehrhart's theorem
• Ehrhart-Macdonald reciprocity

Sphere packings

• lattice packings and coverings
• the Theorem of Minkowski-Hlawka
• analytic methods

Applications in optimization, number theory, algebra, algebraic geometry, and functional analysis

The course will use material from P. M. Gruber, " Convex and Discrete Geometry" (Springer 2007) and various other sources. There will be brief lecture notes available for course participants with detailed pointers to the literature.

Solid background in linear algebra and some analysis. Basic knowledge and experience with polytopes and/or convexity (as from the course "Discrete Geometry I") will be helpful. .

In this seminar we treat current research problems in discrete and computational geometry that can be approached using methods from algebraic topology. The aim of the seminar is to make advances in research and introduce students to potential research topics.
All seminars take place in the seminar room of the "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin.

This course (in English, as the first part of a three semester sequence) will be an introduction to the theory of Convex Polytopes, a core field of Discrete Geometry. The lectures will

• introduce basic facts about polytopes, with an emphasis on the methods that yield the results (Fourier-Motzkin eliminiation, Schlegel diagrams, shellability, Gale diagrams, and oriented matroids
• discuss important example and elegant constructions (cyclic and neighborly polytopes, zonotopes, Minkowski sums, permuathedra and associahedra, fiber polytopes, and the Lawrence construction)
• show the excitement of current work in the field.

The course will be based on Günter M. Ziegler's 1995 text book "Lectures on Polytopes". This book has quickly become a standard text book for this field - but it also has triggered a lot of research, many of the open problems from 1995 have been solved by now, so the book does not any more cover "the excitement of current work in the field" - however, the course will try to provide this. In parallel to the course we will revise and update the book, towards a 2016 second edition of "Lectures on Polytopes". You are invited to get involved in this: By criticizing the old text, suggesting improvements and additions, researching new references, contributing problems, etc.

Here is the list of chapters of the book, and thus (roughly) the course contents:

1. Introduction and Examples
2. Polytopes, Polyhedra, and Cones
3. Faces of Polytopes
4. Graphs of Polytopes
5. Steinitz' Theorem for 3-Polytopes
6. Schlegel Diagrams for 4-Polytopes
7. Duality, Gale Diagrams, and Applications
8. Fans, Arrangements, Zonotopes, and Tilings
9. Shellability and the Upper Bound Theorem
10. Fiber Polytopes, and Beyond

References:

• Branko Grünbaum: "Convex Polytopes" (Original edition: Interscience 1967; 2nd edition, Graduate Texts in Math. 221, Springer 2003)
• Günter M. Ziegler "Lectures in Polytopes" (Graduate Texts in Math. 152, 1995; 7th revised printing 2007)

Solid background in linear algebra. Knowledge in combinatorics and geometry is advantageous.

This course (in English) is an introduction in Metric Geometry. The target audience for this are students with a basic knowledge in geometry, discrete geometry and topology.  In the course we will introduce and develop basic notions and methods of Metric Geometry following presentation from the book of Burago, Burago and Ivanov: “A course in Metric Geometry.” Here is the list of some chapters of the book, and thus (roughly) an outline of the course contents:

1. Metric Spaces
2. Length Spaces
3. Constructions
4. Spaces of Bounded Curvature
5. Smooth Length Structures
6. Curvature of Riemannian Metrics
7. Spaces of Metric Spaces

1. Burago, Burago and Ivanov: “A course in Metric Geometry” (Graduate Studies in Mathematics Vol. 33; AMS)

Zielgruppe: The target audience are students with a solid background in discrete geometry and/or convex geometry (en par with Discrete Geometry I & II). The topic of this course is a state-of-the-art of advanced topics in discrete geometry that find applications and incarnations in differential geometry, topology, combinatorics, and algebraic geometry.

Voraussetzungen: Preferably Discrete Geometry I and II. Background in discrete geometry (polytopes, subdivisions, h-vectors) and convex geometry (mixed volumes, Brunn-Minkowski, Aleksandrov-Fenchel) should suffice.

In this seminar we treat current research problems in discrete and computational geometry that can be approached using methods from algebraic topology. The aim of the seminar is to make advances in research and introduce students to potential research topics.
All seminars take place in the seminar room of the "Villa", Arnimallee 2, 14195 Berlin.

Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geometry I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

Das Seminar findet statt in SR1 / Arnimallee 2

Inhalt: BMS Advanced Course, in English.
The Course will show how methods from (elementary and advanced) Algebraic Topology can be used to treat problems from Discrete Geometry.
The Tutorials (Übungen) will provide all the necessary tools from Algebraic Topology. Contents:
I. Configuration Space/Test Map schemes for Discrete Geometry Problems
II. Group Cohomology/Index Theory methods
III. Equivariant Obstruction Theory methods.

Zielgruppe: Studierende im Masterstudiengang Mathematik können diese Vorlesung im Rahmen des Moduls "Topologie III" oder "Diskrete Mathematik III" wählen.

Literatur: Suggested background/preparation reading:
J. Matousek: "Using the Borsuk-Ulam Theorem", Springer.

Content:

• Homology and cohomology of manifolds proving Poincare duality isomorphism,
• Cohomology operations introducing in particular Steenrod squares,
• Vector bundles, and
• Characteristic classes, in particular we will introduce Stiefely-Whiteny classes using Steenrod squares.

Introduced methods will be illustrated by applications on different classical problems of algebraic topology.

The books that can be used for these topics are:

1. G. Bredon: Topology and Geometry, Springer GTM 139,
2. J. Milnor, J.D. Sasheff: Characteristic classes, (AM-76) Princeton University press
3. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-theiry, online book
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html