Dieser Kurs ist mit den Thematischen Einstein Semester (TES) Varieties, Polyhedra, Computation verbunden, die im Rahmen des Berliner Mathematik-Forschungszentrums MATH+ organisiert und von der Einstein-Stiftung Berlin unterstützt werden.
Die Lösung von Systemen polynomieller Gleichungen über die realen oder komplexen Zahlen ist eine grundlegende, allgegenwärtige und hochrelevante mathematische Aufgabe. In den letzten zwei Jahrzehnten hat es dramatische Fortschritte in unserer Fähigkeit gegeben, Polynomsysteme praktisch zu lösen und ihre Lösungsansätze zu erforschen.
Dieser Kurs konzentriert sich auf einen spezifischen Ansatz zur Lösung von Polynomgleichungen: die Fortsetzung der numerischen Homotopie. Numerische Verfahren sind aufgrund ihrer Rechengeschwindigkeit besonders für "große" Probleme interessant. Numerische Berechnungen ergeben jedoch nur ungefähre Lösungen, die Ausgabe ist nicht exakt. Aus diesem Grund wurde die Fortsetzung der Homotopie traditionell als ein Zweig der angewandten Mathematik angesehen. Zum Beispiel ist die Homotopie-Fortsetzung ein beliebtes Werkzeug zur Berechnung der Lösungen kinematischer Probleme im Maschinenbau.
In diesem Kurs lernen die Teilnehmer, ihre eigenen Systeme mit dem Julia-Paket HomotopyContinuation.jl zu lösen. Neben der Lösung von Problemen aus der Anwendung werden sie auch lernen, wie die Ergebnisse der numerischen Homotopie-Fortsetzung in strengen mathematischen Nachweisen verwendet werden können. Zum Beispiel wurde eine Instanz der berühmten 3264 Kegel, die an fünf gegebenen Kegeln tangieren, mit HomotopyContinuation.jl berechnet, und alle ihre tangentialen Kegel wurden als real erwiesen.
Die Studierenden arbeiten an Projekten zur Lösung von Polynomsystemen. Sie präsentieren ihre Programme und Lösungen im Rahmen der Milestones Conference der TES im Februar.